EX_0307 – Une entreprise fabrique $q$ milliers...

Énoncé

Une entreprise fabrique $q$ milliers d’objets, $q\in[1;20].$ Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l’expression : $C(q)=q^3-18q^2+750q+200$
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Calculer le coût total de fabrication de $\np{5000}$ objets.
        \item Déterminer le coût \underline{moyen} de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $\np{5000}$ objets.
    \end{enumerate}
    \item Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d'objets, exprimé en euros, est donné par la fonction \[C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}\]
    \begin{enumerate}
        \item On note $C'_M$ la fonction dérivée de la fonction $C_M$ sur l'intervalle $[1;20$].\\
        Montrer que, pour tout $q\in[1;20]$ : $C'_M(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$.
        \item Étudier le signe de $C'_M$ et dresser le tableau de variation de la fonction $C_M$ sur l'intervalle $[1;20]$.
        \item Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d'objets fabriqués est-il obtenu ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

Une entreprise fabrique $q$ milliers d’objets, $q\in[1;20].$ Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l’expression : $C(q)=q^3-18q^2+750q+200$

Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d'objets, exprimé en euros, est donné par la fonction \[C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}\]

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item $C(5)=5^3-18\times 5^2+750\times 5+200=\np{3625}$ euros.
                \item $\np{5000}$ objets coûtent $\np{3625}$ euros à fabriquer, donc, en moyenne, un millier d'objets coûte $\dfrac{\np{3625}}{5}=725$ euros.
            \end{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item $C_M(q)=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}=q^2-18q+750+200\times\dfrac{1}{q}$ donc :\\
                $C'_M(q)=2q-18+0+200\times\dfrac{-1}{q^2}=\dfrac{2q\times q^2-18q^2-200}{q^2}=\dfrac{2q^3-18q^2-200}{q^2}$ or : \\
                $\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}=\dfrac{2\left(q^3+q^2+10q-10q^2-10q-100\right)}{q^2}=\dfrac{2q^3-18q^2-200}{q^2}$\\
                On en déduit donc que $C'_M(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$.
                \item \begin{itemize}
                    \item $2$ est toujours positif
                    \item $q-10$ est une fonction affine croissante qui s'annule en $10$.
                    \item $q^2+q+10$ est un polynôme du second degré avec $\Delta=1^2-4\times1\times10=-39<0$ donc ce polynôme est toujours du signe de $a=1>0$
                    \item $q^2$ est un carré donc est toujours positif.
                \end{itemize}
                Ainsi 
                \begin{center}
                \begin{tablvar}[2.5cm]{2}
                    \hline
                    q                               & 1 &   & 10        &   & 20   \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de } 2              &   & + &\barre     & + &       \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }q-10            &   & - &\barre[0]  & + &       \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de } q^2+q+10       &   & + &\barre     & + &       \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }C'_M(q)         &   & - &\barre[0]  & + &       \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }C_M} &\haut{933} && \bas{690} && \haut{800} }
                    \hline
                \end{tablvar}
            \end{center}
            Avec $C_M(1)=1^2-18\itmes 1 +750 +\dfrac{200}{1}=933$ ; $C_M(10)=690$ et $C_M(20)=800$.
            \item Ainsi le coût moyen minimal de fabrication d'un millier d'objets et de $690$ euros et il est obtenu pour la fabrication de $\np{10000}$ objets.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}

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