Le directeur d'un zoo veut construire un nouvel enclos rectangulaire pour ses tigres blancs. Pour le bien-être des animaux, l'enclos doit avoir une superficie de $100\text{m}^2$, et pour minimiser les frais de clôture, le périmètre doit-être minimal.
Problème : quelles doivent être les dimensions de ce nouvel enclos ?
On note $x$ la largeur de l'enclos et $P(x)$ son périmètre. On admet que $x$ varie dans l'intervalle $[1;100]$.

2. Après avoir étudié les variations de la fonction $P$, répondre au problème posé.

Correction

2. Pour étudier les variation de $P$ il faut étudier le signe de sa dérivée. On peut remarquer que $P(x)$ peut s'écrire $P(x)=2x+200\times\dfrac{1}{x}$ ainsi $P'(x)=2+200\times \dfrac{-1}{x^2}=2-\dfrac{200}{x^2}=\dfrac{2x^2-200}{x^2}$.
   Pour étudier le signe du numérateur, on peut calculer son discriminant mais on peut également remarquer que $2x^2-200=2\left(x^2-100\right)=2\left(x^2-10^2\right)=2(x-10)(x+10)$. Ainsi nous voyons que $2x^2-200$ est un polynôme du second degré avec $a=2>0$ dont les racines sont $x_1=-10$ et $x_2=10$. Nous savons qu'il est du signe de $a$ à l'extérieur de celles-ci. D'où :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
3. Le périmètre minimal est obtenu lorsque le rectangle a une largeur de $10$m et donc une longueur $L=\dfrac{100}{10}=10$m également. À aire égale, le rectangle de plus petit périmètre est un carré.