Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site A et le site B.

Le site A produit les trois-quarts des aiguilles, le site B l'autre quart.

Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que :

\setlength\parindent{9mm}

• [$\bullet~~$] 2\,\% des aiguilles du site A sont défectueuses ;
• [$\bullet~~$] 4\,\% des aiguilles du site B sont défectueuses.

Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.

On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}

• [$\bullet~~$]$A$ : l'aiguille provient du site A ;
• [$\bullet~~$]$B$ : l'aiguille provient du site B ;
• [$\bullet~~$]$D$ : l'aiguille présente un défaut.

L'évènement contraire de $D$ est noté $\overline{D}$.

1. D'après les données de l'énoncé, donner la valeur de la probabilité de l'évènement $A$ que l'on notera $P(A)$.
2. Compléter l'arbre de probabilités ci- dessous en indiquant les probabilités sur les branches.

   \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$  }} {\TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$  }} {\TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } }

3. Quelle est la probabilité que l'aiguille ait un défaut et provienne du site A ?
4. Montrer que $P(D) =0,025$.
5. Après inspection, l'aiguille choisie se révèle défectueuse.

   Quelle est la probabilité qu'elle ait été produite sur le site A ?

6. On choisit au hasard deux aiguilles de l'usine. On suppose que le nombre d’aiguilles est suffisamment grand pour associer ce choix à un tirage avec remise.

   On note à chaque fois si l'aiguille est défectueuse ou pas. On utilisera les notations suivantes :

Correction

1. D'après l'énoncé $p(A)=\dfrac{3}{4}=0,75$ \hfill
2. \hfill