EX_0312 – Soit $f$ la fonction définie sur...

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $D_f$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{4x^2+4x+5}$.
$C_f$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$.
$f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $D_f$.

Soit $F$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ ayant pour dérivée la fonction $f$. On sait, de plus, que $F\left(\dfrac{2}{3}\right)=0$.
Déterminer une équation de la tangente $d$ à la courbe représentative de $F$ au point d'abscisse $\dfrac{2}{3}$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Exercice 3 - Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item 
        Le dénominateur de $f(x)$ est $4x^2 + 4x + 5$. On cherche les valeurs de $x$ qui annulent ce dénominateur. Or celui-ci est un polynôme du second degré.\\
            $\Delta = 4^2 - 4 \times 4 \times 5 = 16 - 80 = -64$.\\
        
        Comme $\Delta < 0$, il n'existe aucune valeur de $x$ qui annule le dénominateur. Ainsi, $f(x)$ n'admet aucune valeur interdite sur $\mathbb{R}$.

\item 
        $f(x)$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u=2x+1}{v=4x^2+4x+5}$ donc $\sys{u'=2}{v'=8x+4}$\\
        Ainsi
        \begin{flalign*}
            f'(x) &= \left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{u'v-uv'}{v} & \\
            &= \dfrac{2(4x^2+4x+5) - (2x+1)(8x+4)}{(4x^2+4x+5)^2} & \\
            &= \dfrac{8x^2+8x+10-16x^2-8x-8x-4}{(4x^2+4x+5)^2} & \\
            &= \dfrac{-8x^2-8x+6}{(4x^2+4x+5)^2}&
        \end{flalign*}
        or
        \begin{flalign*}
            \dfrac{-2(2x+3)(2x-1)}{(4x^2+4x+5)^2} &= \dfrac{-2(4x^2-2x+6x-3}{(4x^2+4x+5)^2} &\\
            &= \dfrac{-2(4x^2+4x-3}{(4x^2+4x+5)^2} &\\
            &= \dfrac{-8x^2-8x+6}{(4x^2+4x+5)^2} &\\
            &= f'(x) &
        \end{flalign*}

\item 
        Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $(-2)(2x+3)(2x-1)$. On étudie les signes de chaque facteur et on en déduit le tableau de signes et le tableau de variation :
        \begin{center}
                \begin{tablvar}[2.5cm]{3}
                    \hline
                    q                     &  -\infty   &   & -\dfrac{3}{2} &   & \dfrac{1}{2}    &   & +\infty   \\
                    \hline 
                    \mbox{Signe de } -2   &            & - &\barre         & - &\barre                 & - &       \\
                    \hline                  
                    \mbox{Signe de }2x+3  &            & - &\barre[0]      & + &\barre                 & + &       \\
                    \hline                  
                    \mbox{Signe de }2x-1  &            & - &\barre         & - &\barre[0]              & + &       \\
                    \hline                  
                    \mbox{Signe de }f'(x) &            & - &\barre[0]      & + &\barre[0]              & - &       \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }f} &\haut{} &&\bas{-\dfrac{1}{4}} && \haut{\dfrac{1}{4}} && \bas{} }
                    \hline
                \end{tablvar}
            \end{center}
        Où $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{-2\times\dfrac{3}{2}+1}{4\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-4\times\dfrac{3}{2}+5}=-\dfrac{1}{4}$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$

\end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

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