On considère les fonctions $f(x)=3x^2+2x-1$ et $g(x)=-x^2+4x+5$. Déterminer la position relative de leurs courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

Correction

Méthode : on cherche le signe de $f(x) - g(x)$ sur $\R$.
Calcul : \[\begin{aligned} f(x) - g(x) &= 3x^2 + 2x - 1 - (-x^2 + 4x + 5) \\= 3x^2 + 2x - 1 + x^2 - 4x - 5 \\= 4x^2 - 2x - 6 \end{aligned}\] On étudie le signe de la fonction $h(x) = 4x^2 - 2x - 6$.

Discriminant : $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 4 \times (-6) = 4 + 96 = 100$
$\Delta > 0$, donc deux racines réelles :
$x_1 = \dfrac{2 - \sqrt{100}}{8} = \dfrac{2 - 10}{8} = -1$
$x_2 = \dfrac{2 + \sqrt{100}}{8} = \dfrac{2 + 10}{8} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$

Tableau de signe : $a = 4 > 0$ donc signe de $h$ positif à l’extérieur des racines, négatif entre celles-ci.

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$

Conclusion :

• $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty;-1[$ et $]\dfrac{3}{2};+\infty[$
• $\mathscr{C}_f$ est en dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-1;\dfrac{3}{2}[$
• Les courbes se coupent aux abscisses $x = -1$ et $x = \dfrac{3}{2}$