EX_0316 – Un joueur de basket effectue un...

Énoncé

Un joueur de basket effectue un lancer en direction du panier. La hauteur $h(t)$ de la balle, en mètre, en fonction du temps $t$, exprimé en seconde, est modélisée par : \[ h(t) = -0{,}4t^2 + 1{,}6t + 2 \]

Montrer que $h(t)$ peut s'écrire sous la forme $h(t) = -0{,}4(t - 2)^2 + 3{,}6$
À quelle hauteur la balle est-elle lancée ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ? Combien de temps après le lancer cette hauteur est-elle atteinte ?
Pendant combien de temps la balle se trouve-t-elle à une hauteur supérieure ou égale à $3$ mètres ?
Combien de temps après le lancer la balle revient-elle à la hauteur de $2$ mètres ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item Développons l'expression proposée :\\
    $-0.4(t - 2)^2 + 3.6 = -0.4(t^2 - 4t + 4) + 3.6 = -0.4t^2 + 1.6t - 1.6 + 3.6 = -0.4t^2 + 1.6t + 2$\\
    On retrouve bien $h(t)$.

\item La hauteur initiale correspond à $t = 0$ :\\
    $h(0) = -0.4 \times 0 + 1.6 \times 0 + 2 = 2$ m

\item La forme $h(t) = -0.4(t - 2)^2 + 3.6$ est la forme canonique d'un polynôme du second degré.\\
    Le sommet de la parabole est donc $S(2, 3.6)$\\
    Le maximum est atteint pour $t = 2$ s et vaut $3.6$ m.

\item On cherche $h(t) \geq 3$ :
    \begin{align*}
        -0.4t^2 + 1.6t + 2 &\geq 3 \\
        -0.4t^2 + 1.6t - 1 &\geq 0
    \end{align*}
    On résout cette inéquation :
    \begin{itemize}
        \item $\Delta = (1.6)^2 - 4 \times (-0.4) \times (-1) = 2.56 - 1.6 = 0.96$
        \item Racines : $t_1 = \dfrac{1.6 - \sqrt{0.96}}{0.8} \approx 0.63$, $t_2 \approx 3.17$
    \end{itemize}
    Le signe est positif entre les deux racines.\\
    La balle reste donc au-dessus de 3 m entre $0.63$ s et $3.17$ s, soit pendant environ $2.54$ s.

\item On cherche $h(t) = 2$ :\\
    $-0.4t^2 + 1.6t + 2 = 2 \Rightarrow -0.4t^2 + 1.6t = 0 \Rightarrow t(-0.4t + 1.6) = 0$\\
    Solutions : $t = 0$ ou $t = 4$\\
    \underline{Conclusion} : la balle atteint la hauteur de $2$ mètres à l’instant du lancer ($t = 0$) puis retombe à cette hauteur $4$ secondes plus tard.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Développons l'expression proposée :
$-0.4(t - 2)^2 + 3.6 = -0.4(t^2 - 4t + 4) + 3.6 = -0.4t^2 + 1.6t - 1.6 + 3.6 = -0.4t^2 + 1.6t + 2$
On retrouve bien $h(t)$.
La hauteur initiale correspond à $t = 0$ :
$h(0) = -0.4 \times 0 + 1.6 \times 0 + 2 = 2$ m
La forme $h(t) = -0.4(t - 2)^2 + 3.6$ est la forme canonique d'un polynôme du second degré.
Le sommet de la parabole est donc $S(2, 3.6)$
Le maximum est atteint pour $t = 2$ s et vaut $3.6$ m.
On cherche $h(t) \geq 3$ : \[\begin{aligned} -0.4t^2 + 1.6t + 2 &\geq 3 \\ -0.4t^2 + 1.6t - 1 &\geq 0 \end{aligned}\] On résout cette inéquation :
Le signe est positif entre les deux racines.
La balle reste donc au-dessus de 3 m entre $0.63$ s et $3.17$ s, soit pendant environ $2.54$ s.
On cherche $h(t) = 2$ :
$-0.4t^2 + 1.6t + 2 = 2 \Rightarrow -0.4t^2 + 1.6t = 0 \Rightarrow t(-0.4t + 1.6) = 0$
Solutions : $t = 0$ ou $t = 4$
Conclusion : la balle atteint la hauteur de $2$ mètres à l’instant du lancer ($t = 0$) puis retombe à cette hauteur $4$ secondes plus tard.