On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.

1. Vérifier que $x = 2$ est une racine de $f$.
2. On suppose qu’il existe des réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x) = (x - 2)(ax^2 + bx + c)$. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x) = ax^3 + (b - 2a)x^2 + (c - 2b)x - 2c$.
3. Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ puis factoriser complètement $f(x)$.
4. Résoudre l’équation $f(x) = 0$.

Correction

1. $f(2) = 2^3 - 3\times2^2 - 4\times2 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$ donc 2 est une racine de $f$.
2. On développe : \[ f(x) = (x-2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 2ax^2 - 2bx - 2c = ax^3 + (b-2a)x^2 + (c-2b)x - 2c \]
3. En identifiant avec $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$, on obtient : \[ \systeme{a = 1, b - 2a = -3, c - 2b = -4, -2c = 12} \Rightarrow \systeme{a=1, b=-1, c=-6} \] D’o\`u $f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6)$. Factorisons le trinôme : \[ \Delta = (-1)^2 - 4\times1\times(-6) = 1 + 24 = 25 \, (>0) \] Racines : $x_1 = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$, $x_2 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$. D’o\`u $f(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)$
4. Résolution : $f(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0$ donc $\mathcal{S} = \{-2, 2, 3\}$