EX_0319 – Soient les fonctions $f(x) = 2x^2 -...

Énoncé

Soient les fonctions $f(x) = 2x^2 - x - 4$ et $g(x) = -x^2 + 3x + 2$. Étudier la position relative de leurs courbes représentatives.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\underline{Méthode} : on étudie le signe de $f(x) - g(x)$ pour tout $x \in \R$.\\

\underline{Calcul de la différence} :
\begin{align*}
f(x) - g(x) &= 2x^2 - x - 4 - (-x^2 + 3x + 2) \\
            &= 2x^2 - x - 4 + x^2 - 3x - 2 \\
            &= 3x^2 - 4x - 6
\end{align*}

\underline{Discriminant} : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-6) = 16 + 72 = 88$\\

\underline{Racines} :\\
$x_1 = \dfrac{4 - \sqrt{88}}{6} \approx -0.23$, \quad $x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{88}}{6} \approx 2.56$\\

\underline{Signe de $f(x) - g(x)$} : $a = 3 > 0$, donc positif à l’extérieur, négatif entre les racines.

$\begin{tablvar}[0.1\textwidth]{3}
    \hline
    x & -\infty && x_1 && x_2 && +\infty \\
    \hline
    \mbox{Signe de }f(x) - g(x) & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\
    \hline
\end{tablvar}$

\underline{Conclusion} : $\mathscr{C}_f$ est :
\begin{itemize}
    \item au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty; x_1[$ et $]x_2; +\infty[$
    \item en dessous sur $]x_1; x_2[$
    \item les deux courbes se coupent pour $x = x_1$ et $x = x_2$
\end{itemize}
\end{varwidth}

Correction

Méthode : on étudie le signe de $f(x) - g(x)$ pour tout $x \in \R$.

Calcul de la différence : \[\begin{aligned} f(x) - g(x) &= 2x^2 - x - 4 - (-x^2 + 3x + 2) \\= 2x^2 - x - 4 + x^2 - 3x - 2 \\= 3x^2 - 4x - 6 \end{aligned}\]

Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-6) = 16 + 72 = 88$

Racines :
$x_1 = \dfrac{4 - \sqrt{88}}{6} \approx -0.23$, \quad $x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{88}}{6} \approx 2.56$

Signe de $f(x) - g(x)$ : $a = 3 > 0$, donc positif à l’extérieur, négatif entre les racines.

[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

Conclusion : $\mathscr{C}_f$ est :

au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty; x_1[$ et $]x_2; +\infty[$
en dessous sur $]x_1; x_2[$
les deux courbes se coupent pour $x = x_1$ et $x = x_2$