Une balle de tennis est frappée au service. Sa hauteur $h(t)$, en mètres, en fonction du temps $t$ en secondes est modélisée par la fonction suivante : \[ h(t) = -0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5 \]

1. Montrer que $h(t) = -0{,}6(t - 2)^2 + 3{,}9$
2. Quelle est la hauteur initiale de la balle ?
3. Quelle est la hauteur maximale atteinte et à quel instant ?
4. Pendant combien de temps la balle est-elle à une hauteur supérieure ou égale à 2,5 m ?
5. Combien de temps après le service la balle retombe-t-elle à 1,5 m ?

Correction

1. Développons l'expression :
   $-0{,}6(t - 2)^2 + 3{,}9 = -0{,}6(t^2 - 4t + 4) + 3{,}9 = -0{,}6t^2 + 2{,}4t - 2{,}4 + 3{,}9 = -0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5$
   On retrouve bien l'expression de $h(t)$.
2. La balle est frappée à $t = 0$ donc : $h(0) = 1{,}5$ m
3. La forme canonique donne directement le sommet $\alpha = 2$ et $\beta = 3,9$. Puisque $a = -0,6<0$ on en déduit que ce sommet est un maximum et qu'il est atteint au temps $t = 2$ s et la hauteur maximale est de $3{,}9$ m
4. On cherche : $h(t) \geq 2{,}5 \iff -0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5 \geq 2{,}5$ $\iff -0{,}6t^2 + 2{,}4t - 1 \geq 0$
   On reconnait une inéquation du second degré avec $a = -0,6$, $b= 2,4$ et $c=-1$ ainsi
   $\Delta = b^2 -4ac = 2{,}4^2 - 4 \times (-0{,}6) \times (-1) = 5{,}76 - 2{,}4 = 3{,}36>0$
   Le polynôme admet donc deux racines à l'extérieur desquelles il est du signe de $a<0$
   Racines : $t_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2,4 -\sqrt{3,36}}{2\times\left(-0,6\right)} \approx 3{,}53$,
   $t_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2,4 +\sqrt{3,36}}{2\times\left(-0,6\right)} \approx 0{,}47$ Intervalle solution : $[t_2; t_1] \Rightarrow$ durée : $3{,}53 - 0{,}47 = 3{,}06$ s
5. On cherche $h(t) = 1{,}5$ :
   $-0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5 = 1{,}5 \iff -0{,}6t^2 + 2{,}4t = 0 \iff t(-0{,}6t + 2{,}4) = 0$
   Solutions : $t = 0$ et $t = 4$
   Ainsi la balle retombe à 1,5m du sol au bout de 4s