Une balle de tennis est frappée au service. Sa hauteur $h(t)$, en mètres, en fonction du temps $t$ en secondes est modélisée par la fonction suivante : \[ h(t) = -0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5 \]

1. Montrer que $h(t) = -0{,}6(t - 2)^2 + 3{,}9$
2. Quelle est la hauteur initiale de la balle ?
3. Quelle est la hauteur maximale atteinte et à quel instant ?
4. Pendant combien de temps la balle est-elle à une hauteur supérieure ou égale à 2,5 m ?
5. Combien de temps après le service la balle retombe-t-elle à 1,5 m ?

Correction

1. Développons l'expression :
   $-0{,}6(t - 2)^2 + 3{,}9 = -0{,}6(t^2 - 4t + 4) + 3{,}9 = -0{,}6t^2 + 2{,}4t - 2{,}4 + 3{,}9 = -0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5$
   On retrouve bien l'expression de $h(t)$.
2. La balle est frappée à $t = 0$ donc : $h(0) = 1{,}5$ m
3. La forme canonique donne directement le sommet : $t = 2$ s, hauteur maximale : $3{,}9$ m
4. On cherche : $h(t) \geq 2{,}5 \iff -0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5 \geq 2{,}5$
   $\iff -0{,}6t^2 + 2{,}4t - 1 \geq 0$
   $\Delta = 2{,}4^2 - 4 \times (-0{,}6) \times (-1) = 5{,}76 - 2{,}4 = 3{,}36$
   Racines : $t_1 \approx 0{,}51$, $t_2 \approx 3{,}26$
   Intervalle solution : $[t_1; t_2] \Rightarrow$ durée : $3{,}26 - 0{,}51 = 2{,}75$ s
5. On cherche $h(t) = 1{,}5$ :
   $-0{,}6t^2 + 2{,}4t + 1{,}5 = 1{,}5 \iff -0{,}6t^2 + 2{,}4t = 0 \iff t(-0{,}6t + 2{,}4) = 0$
   Solutions : $t = 0$ et $t = 4$
   Ainsi la balle retombe au sol au bout de 4s