EX_0322 – Pour traiter des fichiers...

Énoncé

Pour traiter des fichiers informatiques, une entreprise utilise deux algorithmes différents selon la taille du fichier : un premier pour les fichiers de taille inférieure ou égale 20 Mo, un second pour les fichiers plus lourds.

Le temps de traitement $f(x)$, en secondes, d'un fichier de $x$ Mo par un logiciel est donné par :

\[ f(x) = \begin{cases} 2 + 1{,}2x & \text{si } 0 \leq x \leq 20 \\ 0{,}1x^2 - 5x + 86 & \text{si } x > 20 \end{cases} \]

Calculer $f(10)$ et $f(30)$.
Quel est le temps de traitement d'un fichier de $20$ Mo ?
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~35]$.
En déduire le temps minimal de traitement d'un fichier et la taille d'un tel fichier

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
\item Pour $x = 10$ : $f(10) = 2 + 1,2 \times 10 = 2 + 12 = 14$ secondes.

Pour $x = 30$ : $f(30) = 0.1 \times 900 - 5 \times 30 + 86 = 90 - 150 + 86 = 26$ secondes.

\item Pour $x = 20$ : Les deux algorithmes sont donc suceptibles de s'appliquer.\\
Avec le premier on obtient $f(20) = 2 + 1,2 \times 20 = 2 + 24 = 26$ secondes.\\
Avec le second on obtient $f(20)=0,1\times20^2-5\times 20 +86 = 26$ secondes

\item
Sur $[0~;~20]$, $f(x) = 2 + 1,2x$ est affine strictement croissante.

Sur $]20~;~35]$, $f(x) = 0,1x^2 - 5x + 86$ est une fonction polynôme du second degré. $a=0,1>0$, elle admet donc un minimum pour $x = \dfrac{5}{2 \times 0.1} = 25$.

$f(25) = 0.1 \times 625 - 5 \times 25 + 86 = 62.5 - 125 + 86 = 23.5$ secondes

$f(35) = 0.1 \times 1225 - 5 \times 35 + 86 = 122.5 - 175 + 86 = 33.5$ secondes

\begin{center}
\begin{tablvar}{3}
\hline
x & 0 && 20 && 25 && 35 \\
\hline
\variations{ \mil{f(x)} & \bas{2} && \haut{26} && \bas{23,5} && \haut{33,5} }
\hline
\end{tablvar}
\end{center}

\item D’après le tableau de variations, le minimum de $f$ est atteint en $x = 0$ avec $f(0) = 2$.

\textbf{Le temps minimal de traitement est donc de 2 secondes pour un fichier de 0 Mo.}
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Pour $x = 10$ : $f(10) = 2 + 1,2 \times 10 = 2 + 12 = 14$ secondes.
Pour $x = 30$ : $f(30) = 0.1 \times 900 - 5 \times 30 + 86 = 90 - 150 + 86 = 26$ secondes.
Pour $x = 20$ : Les deux algorithmes sont donc suceptibles de s'appliquer.
Avec le premier on obtient $f(20) = 2 + 1,2 \times 20 = 2 + 24 = 26$ secondes.
Avec le second on obtient $f(20)=0,1\times20^2-5\times 20 +86 = 26$ secondes
Sur $[0~;~20]$, $f(x) = 2 + 1,2x$ est affine strictement croissante.

Sur $]20~;~35]$, $f(x) = 0,1x^2 - 5x + 86$ est une fonction polynôme du second degré. $a=0,1>0$, elle admet donc un minimum pour $x = \dfrac{5}{2 \times 0.1} = 25$.

$f(25) = 0.1 \times 625 - 5 \times 25 + 86 = 62.5 - 125 + 86 = 23.5$ secondes

$f(35) = 0.1 \times 1225 - 5 \times 35 + 86 = 122.5 - 175 + 86 = 33.5$ secondes

[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
D’après le tableau de variations, le minimum de $f$ est atteint en $x = 0$ avec $f(0) = 2$.
Le temps minimal de traitement est donc de 2 secondes pour un fichier de 0 Mo.