On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$ par : \[ f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x+1} \] et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$.

1. Montrer que, pour tout $x\in]-1;+\infty[$ : \[ f'(x)=\dfrac{x^2+2x-4}{(x+1)^2} \]
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-1;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
3. Déterminer le minimum de la fonction $f$ sur $]-1;+\infty[$ et préciser la valeur exacte pour laquelle il est atteint.
4. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $0$.

Correction

1. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u=x^2-3x+1}{v=x+1}$ donc $\sys{u'=2x-3}{v'=1}$ ainsi \[\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+1)\times 1}{(x+1)^2}\\= \dfrac{2x^2+2x-3x-3-x^2+3x-1}{(x+1)^2}\\= \dfrac{x^2+2x-4}{(x+1)^2}\end{aligned}\]
2. Sur $]-1;+\infty[$, $(x+1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2+2x-4$. Ce polynôme du second degré a pour discriminant $\Delta=2^2-4\times 1\times(-4)=4+16=20>0$ donc il admet deux racines distinctes :
   $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{2}=-1-\sqrt{5}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{2}=-1+\sqrt{5}$
   Or $-1-\sqrt{5}\approx -3,24\notin]-1;+\infty[$ et $-1+\sqrt{5}\approx 1,24\in]-1;+\infty[$. Le coefficient dominant $a=1>0$ donc $x^2+2x-4$ est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur. D'où sur $]-1;+\infty[$ :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
3. D'après le tableau de variations, le minimum de $f$ sur $]-1;+\infty[$ est atteint pour $x=-1+\sqrt{5}$. On calcule :
   $f(-1+\sqrt{5})=\dfrac{(-1+\sqrt{5})^2-3(-1+\sqrt{5})+1}{-1+\sqrt{5}+1}=\dfrac{1-2\sqrt{5}+5+3-3\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}=\dfrac{10-5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}-5=2\sqrt{5}-5$
   Ainsi le minimum de $f$ sur $]-1;+\infty[$ est $2\sqrt{5}-5$, atteint pour $x=-1+\sqrt{5}$.
4. L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
   $f(0)=\dfrac{0-0+1}{0+1}=1$ et $f'(0)=\dfrac{0+0-4}{(0+1)^2}=-4$
   Ainsi la tangente a pour équation $y=-4x+1$.