EX_0325 – On considère la fonction $g$ définie...

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]1;+\infty[$ par : \[ g(x)=\dfrac{x^2+2x+5}{x-1} \] et on note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que $g$ est dérivable sur $]1;+\infty[$.

Montrer que, pour tout $x\in]1;+\infty[$ : \[ g'(x)=\dfrac{x^2-6x-7}{(x-1)^2} \]
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $]1;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
Déterminer le minimum de la fonction $g$ sur $]1;+\infty[$ et préciser la valeur exacte pour laquelle il est atteint.
Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_g$ au point d’abscisse $2$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item $g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u=x^2-2x+5}{v=x-1}$ donc $\sys{u'=2x-2}{v'=1}$ ainsi
        \begin{flalign*}
            g'(x) &= \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+5)\times 1}{(x-1)^2} & \\
            &= \dfrac{2x^2-2x-2x+2-x^2+2x-5}{(x-1)^2} & \\
            &= \dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} &
        \end{flalign*}

\item Sur $]1;+\infty[$, $(x-1)^2>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x-3$. Or $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ (somme $2$, produit $-3$). Sur $]1;+\infty[$, $x+1>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x-3$ : négatif sur $]1;3[$, nul en $3$ et positif sur $]3;+\infty[$. D'où :
        \begin{center}
            \begin{tablvar}[2.5cm]{2}
                \hline
                x                     & 1 &   & 3         &   & +\infty   \\
                \hline
                \mbox{Signe de }g'(x) &   & - & \barre[0] & + &           \\
                \hline
                \variations{ \mil{\mbox{Variation de }g} &\haut{} && \bas{4} && \haut{} }
                \hline
            \end{tablvar}
        \end{center}
        avec $g(3)=\dfrac{9-6+5}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.

\item D'après le tableau de variations, le minimum de $g$ sur $]1;+\infty[$ est $4$, atteint pour $x=3$.

\item L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $2$ est $y=g'(2)(x-2)+g(2)$.\\
        $g(2)=\dfrac{4-4+5}{2-1}=5$ et $g'(2)=\dfrac{4-4-3}{(2-1)^2}=-3$\\
        Ainsi la tangente a pour équation $y=-3(x-2)+5=-3x+11$.
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

$g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u=x^2-2x+5}{v=x-1}$ donc $\sys{u'=2x-2}{v'=1}$ ainsi \[\begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+5)\times 1}{(x-1)^2}\\= \dfrac{2x^2-2x-2x+2-x^2+2x-5}{(x-1)^2}\\= \dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\end{aligned}\]
Sur $]1;+\infty[$, $(x-1)^2>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x-3$. Or $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ (somme $2$, produit $-3$). Sur $]1;+\infty[$, $x+1>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $x-3$ : négatif sur $]1;3[$, nul en $3$ et positif sur $]3;+\infty[$. D'où :
[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

avec $g(3)=\dfrac{9-6+5}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
D'après le tableau de variations, le minimum de $g$ sur $]1;+\infty[$ est $4$, atteint pour $x=3$.
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $2$ est $y=g'(2)(x-2)+g(2)$.
$g(2)=\dfrac{4-4+5}{2-1}=5$ et $g'(2)=\dfrac{4-4-3}{(2-1)^2}=-3$
Ainsi la tangente a pour équation $y=-3(x-2)+5=-3x+11$.