Un drone topographique survole une section de terrain en ligne droite. À chaque instant, il mesure la pente locale du terrain, exprimée en mètres de dénivelé par mètre horizontal parcouru.

Cette pente dépend d’un paramètre \( r \) (en mètres), représentant la distance horizontale parcourue depuis le point de départ. La pente est modélisée par la fonction :

\[ f(r) = \dfrac{-2r^2 + 11r - 20}{2r^3} \] valable pour \( r \in [1;10] \).

1. Montrer que, pour tout \( r \in [1;10] \), on a : \[ f'(r) = \dfrac{r^2 - 11r + 30}{r^4} \]
2. Étudier le signe de \( f'(r) \) et dresser le tableau de variations de la fonction \( f \) sur l’intervalle donné.
3. Pour quelle valeur de \( r \) la pente est-elle la plus faible ? Quelle est cette pente minimale ?
4. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de \( f \) au point d’abscisse \( r = 3 \).

Correction

1. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u=-2r^2+11r-20}{v=2r^3}$ donc $\sys{u'=-4r+11}{v'=6r^2}$ ainsi \[\begin{aligned} f'(r) &= \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{(-4r+11)\times 2r^3-(-2r^2+11r-20)\times 6r^2}{(2r^3)^2}\\= \dfrac{2r^2\left[(-4r+11)r-3(-2r^2+11r-20)\right]}{4r^6}\\= \dfrac{-4r^2+11r+6r^2-33r+60}{2r^4}\\= \dfrac{2r^2-22r+60}{2r^4} = \dfrac{r^2-11r+30}{r^4}\end{aligned}\]
2. Sur $[1;10]$, $r^4>0$ donc $f'(r)$ est du signe de $r^2-11r+30$. Discriminant : $\Delta=(-11)^2-4\times 1\times 30=121-120=1>0$, donc deux racines :
   $r_1=\dfrac{11-1}{2}=5$ et $r_2=\dfrac{11+1}{2}=6$
   Toutes deux sont dans $[1;10]$. Comme $a=1>0$, le polynôme est négatif entre les racines et positif à l'extérieur. D'où :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

   avec $f(1)=\dfrac{-2+11-20}{2}=-\dfrac{11}{2}$, $f(5)=\dfrac{-50+55-20}{250}=-\dfrac{3}{50}$, $f(6)=\dfrac{-72+66-20}{432}=-\dfrac{13}{216}$ et $f(10)=\dfrac{-200+110-20}{2000}=-\dfrac{11}{200}$.

3. D'après le tableau de variations, $f$ atteint un minimum local en $r=1$ (valeur $-\dfrac{11}{2}$) et un autre minimum local en $r=6$ (valeur $-\dfrac{13}{216}$). On compare : $-\dfrac{11}{2}=-5,5$ et $-\dfrac{13}{216}\approx -0,06$. Le plus petit est $-\dfrac{11}{2}$, atteint pour $r=1$.
   Ainsi la pente est la plus faible (la plus négative, c'est-à-dire la pente descendante la plus prononcée) pour $r=1$ mètre, et vaut $-\dfrac{11}{2}$ mètres de dénivelé par mètre horizontal.
4. L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $r=3$ est $y=f'(3)(r-3)+f(3)$.
   $f(3)=\dfrac{-18+33-20}{2\times 27}=-\dfrac{5}{54}$ et $f'(3)=\dfrac{9-33+30}{81}=\dfrac{6}{81}=\dfrac{2}{27}$
   Ainsi la tangente a pour équation $y=\dfrac{2}{27}(r-3)-\dfrac{5}{54}=\dfrac{2}{27}r-\dfrac{17}{54}$.