Une société de transport doit effectuer une livraison express sur 300 km, en roulant à vitesse constante \( v \) (en \( km.h^{-1} \)).

Le coût total de la livraison, en euros, dépend de la vitesse :

• plus la vitesse est élevée, plus la consommation de carburant augmente ;
• mais plus la vitesse est faible, plus le trajet prend de temps, et plus les frais de main-d'œuvre sont importants.

1. Montrer que le coût total de la livraison, en euros, est donné par : \[ C(v) = 0,3v + \dfrac{2400}{v}, \]
2. Étudier les variations de la fonction \( C \) sur l’intervalle \( [40;130] \).
3. Déterminer la vitesse à laquelle le coût de la livraison est minimal.

Correction

1. À vitesse constante $v$ (en km.h$^{-1}$), parcourir $300$ km prend $\dfrac{300}{v}$ heures. Le coût de main-d'œuvre est donc $15\times\dfrac{300}{v}=\dfrac{\np{4500}}{v}$ euros. Avec un coût de carburant de $0,3v$ euros, le coût total est :
   $C(v)=0,3v+\dfrac{\np{4500}}{v}$
2. $C$ est dérivable sur $[40;130]$ comme somme et quotient de fonctions dérivables ($v\neq 0$). $C'(v)=0,3-\dfrac{\np{4500}}{v^2}=\dfrac{0,3v^2-\np{4500}}{v^2}$.
   Sur $[40;130]$, $v^2>0$ donc $C'(v)$ est du signe de $0,3v^2-\np{4500}$.
   $0,3v^2-\np{4500}=0\Leftrightarrow v^2=\dfrac{\np{4500}}{0,3}=\np{15000}\Leftrightarrow v=\sqrt{\np{15000}}=50\sqrt{6}$ (car $v>0$)
   Or $50\sqrt{6}\approx 122,47\in[40;130]$. Pour $v<50\sqrt{6}$, $0,3v^2-\np{4500}<0$ donc $C'(v)<0$ ; pour $v>50\sqrt{6}$, $C'(v)>0$. D'où :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

   avec $C(50\sqrt{6})=0,3\times 50\sqrt{6}+\dfrac{\np{4500}}{50\sqrt{6}}=15\sqrt{6}+\dfrac{90}{\sqrt{6}}=15\sqrt{6}+\dfrac{90\sqrt{6}}{6}=15\sqrt{6}+15\sqrt{6}=30\sqrt{6}$.

3. D'après le tableau de variations, le minimum de $C$ sur $[40;130]$ est atteint pour $v=50\sqrt{6}\approx 122,47$ km.h$^{-1}$ et vaut $30\sqrt{6}\approx 73,48$ euros.
   Ainsi le coût de la livraison est minimal pour une vitesse d'environ $122$ km.h$^{-1}$, et vaut environ $73,48$ euros.