EX_0328 – Une boisson sort d’une machine à la...

Énoncé

Une boisson sort d’une machine à la température de 80 °C. On la laisse dans une pièce à 20 °C.  
    On admet que, d’une minute à la suivante, la boisson perd 40 \% de l’écart qui la sépare de la température ambiante.
    
    On note $t_n$ la température, en degré Celsius, de la boisson après $n$ minutes. Ainsi, $t_0=80$.
    
    \begin{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
            \item Calculer $t_1$ et $t_2$.
            \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $t_{n+1}=0,6t_n+8$.
        \end{enumerate}
        
        \item On pose $v_n=t_n-20$ pour tout entier naturel $n$.
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
            \item Exprimer $v_n$ puis $t_n$ en fonction de $n$.
            \item Étudier le sens de variation de chacune de ces deux suites.
        \end{enumerate}
        
        \item On considère la fonction Python suivante :
        \begin{center}
            \lstinputlisting[style=pythonlycee]{code_seuil_ex1.py}
        \end{center}
        \begin{enumerate}
            \item Que renvoie cette fonction ?
            \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}

On note $t_n$ la température, en degré Celsius, de la boisson après $n$ minutes. Ainsi, $t_0=80$.

On pose $v_n=t_n-20$ pour tout entier naturel $n$.
On considère la fonction Python suivante :
\lstinputlisting[style=pythonlycee]{code_seuil_ex1.py}

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item 
                \begin{flalign*}
                    t_1 &= 0,6t_0+8 &\\
                    &= 0,6\times 80 + 8 &\\
                    &= 56&
                \end{flalign*}
                et
                \begin{flalign*}
                    t_2 &= 0,6t_1+8 &\\
                    &= 0,6\times 56 + 8 &\\
                    &= \np{41,6}&
                \end{flalign*}
                
                \item À chaque minute, la boisson perd $40\%$ de l’écart qui la sépare de $20°C$, soit $0,4(t_n-20)$, on en déduit :
                \[
                t_{n+1}=t_n-0,4(t_n-20)=t_n-0,4t_n+8=0,6t_n+8.
                \]
            \end{enumerate}
            
            \item \begin{enumerate}
                \item Pour tout entier naturel $n$ :
                \begin{flalign*}
                    v_{n+1} &= t_{n+1}-20&\\
                    &= 0,6t_n+8-20&\\
                    &= 0,6t_n-12&\\
                    &= 0,6(v_n+20)-12&\\
                    &= 0,6v_n+12-12&\\
                    &= 0,6v_n&
                \end{flalign*}
                Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,6$ et de premier terme :
                \[
                v_0=t_0-20=80-20=60.
                \]
                
                \item On en déduit :
                \begin{flalign*}
                    v_n &= 60\times \left(0,6\right)^n&
                \end{flalign*}
                puis
                \begin{flalign*}
                    t_n &= v_n+20&\\
                    &= 60\times \left(0,6\right)^n+20&
                \end{flalign*}
                
                \item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0<0,6<1$ et de premier terme positif, donc elle est décroissante.  
                La suite $(t_n)$ est obtenue en ajoutant 20 à $v_n$, donc elle est également décroissante.
            \end{enumerate}
            
            \item \begin{enumerate}
                \item Cette fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $t_n\leq 30$.  
                On obtient :
                \[
                t_3=\np{32,96}>30 \quad \text{et} \quad t_4=\np{27,776}\leq 30.
                \]
                La fonction renvoie donc $4$.
                
                \item Cela signifie qu’au bout de 4 minutes, la température de la boisson devient inférieure ou égale à 30 °C.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}