EX_0329 – Dans une gare, une entreprise loue...

Énoncé

Dans une gare, une entreprise loue des casiers connectés. Au début du mois de janvier, 200 casiers sont occupés.  
    D’un mois au suivant, $80 \%$ des casiers occupés le restent et 24 nouveaux casiers sont loués.
    
    On note $c_n$ le nombre de casiers occupés au bout de $n$ mois. Ainsi, $c_0=200$.
    
    \begin{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
            \item Calculer $c_1$ et $c_2$.
            \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1}=0,8c_n+24$.
        \end{enumerate}
        
        \item On pose $u_n=c_n-120$ pour tout entier naturel $n$.
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
            \item Exprimer $u_n$ puis $c_n$ en fonction de $n$.
            \item Étudier le sens de variation de chacune de ces deux suites.
        \end{enumerate}
        
        \item On considère la fonction Python suivante :
        \begin{center}
            \lstinputlisting[style=pythonlycee]{code_seuil_ex2.py}
        \end{center}
        \begin{enumerate}
            \item Que renvoie cette fonction ?
            \item Interpréter ce résultat.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}

On note $c_n$ le nombre de casiers occupés au bout de $n$ mois. Ainsi, $c_0=200$.

On pose $u_n=c_n-120$ pour tout entier naturel $n$.
On considère la fonction Python suivante :
\lstinputlisting[style=pythonlycee]{code_seuil_ex2.py}

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item
                \begin{flalign*}
                    c_1 &= 0,8\times 200 + 24&\\
                    &= 184&
                \end{flalign*}
                et
                \begin{flalign*}
                    c_2 &= 0,8\times 184 + 24&\\
                    &= \np{171,2}&
                \end{flalign*}
                
                \item D’un mois au suivant, $80 \%$ des casiers restent occupés, soit $0,8c_n$, puis 24 nouveaux casiers sont loués.  
                Donc :
                \[
                c_{n+1}=0,8c_n+24.
                \]
            \end{enumerate}
            
            \item \begin{enumerate}
                \item Pour tout entier naturel $n$ :
                \begin{flalign*}
                    u_{n+1} &= c_{n+1}-120&\\
                    &= 0,8c_n+24-120&\\
                    &= 0,8c_n-96&\\
                    &= 0,8(u_n+120)-96&\\
                    &= 0,8u_n+96-96&\\
                    &= 0,8u_n&
                \end{flalign*}
                Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme :
                \[
                u_0=c_0-120=200-120=80.
                \]
                
                \item On obtient :
                \begin{flalign*}
                    u_n &= 80\times \left(0,8\right)^n&
                \end{flalign*}
                puis
                \begin{flalign*}
                    c_n &= u_n+120&\\
                    &= 80\times \left(0,8\right)^n+120&
                \end{flalign*}
                
                \item La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0<0,8<1$ et de premier terme positif, donc elle est décroissante.  
                La suite $(c_n)$ est elle aussi décroissante.
            \end{enumerate}
            
            \item \begin{enumerate}
                \item Cette fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $c_n\leq 140$.  
                Or :
                \[
                c_6=\np{140,97152}>140 \quad \text{et} \quad c_7=\np{136,777216}\leq 140.
                \]
                La fonction renvoie donc $7$.
                
                \item Cela signifie qu’au bout de 7 mois, le nombre de casiers occupés devient inférieur ou égal à 140.  
                Comme $c_0$ correspond au mois de janvier, cela se produit au mois d’août.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}