EX_0330 – En 2020, un service de vélos en...

Énoncé

En 2020, un service de vélos en libre-service a enregistré 200 milliers de trajets. On suppose que ce nombre augmente de $10 \%$ chaque année.

On modélise le nombre de trajets, en milliers, effectués en l’année $(2020+n)$ par une suite $(u_n)$, avec $u_0=200$.

Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Selon ce modèle, calculer le nombre de trajets effectués en 2024. Arrondir au millier.
Entre 2020 et 2024 inclus, $30 \%$ des trajets sont effectués avec des vélos électriques et $40 \%$ de ces trajets électriques ont lieu le week-end. Montrer que le nombre total de trajets effectués le week-end avec un vélo électrique sur cette période est d’environ 147 milliers.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item Une augmentation annuelle de $10 \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,1$.  
            Donc, pour tout entier naturel $n$ :
            \[
            u_{n+1}=1,1u_n.
            \]
            La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,1$ et de premier terme $u_0=200$.
            
            \item
            \begin{flalign*}
                u_n &= u_0\times q^n&\\
                &= 200\times \left(1,1\right)^n&
            \end{flalign*}
            
            \item Comme $1,1>1$ et $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
            
            \item L’année 2024 correspond à $n=4$.
            \begin{flalign*}
                u_4 &= 200\times \left(1,1\right)^4&\\
                &= \np{292,82}&
            \end{flalign*}
            Donc, en 2024, le nombre de trajets est d’environ 293 milliers.
            
            \item Le nombre total de trajets entre 2020 et 2024 inclus est :
            \begin{flalign*}
                u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 &= 200\dfrac{1-\left(1,1\right)^5}{1-1,1}&\\
                &= \np{1221,02}
            \end{flalign*}
            en milliers.
            
            La proportion de trajets effectués le week-end avec un vélo électrique est :
            \[
            0,3\times 0,4 = 0,12.
            \]
            Donc le nombre correspondant vaut :
            \begin{flalign*}
                0,12\times \np{1221,02} &= \np{146,5224}&
            \end{flalign*}
            soit environ 147 milliers de trajets.
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}

Correction

Une augmentation annuelle de $10 \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,1$. Donc, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1}=1,1u_n. \] La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,1$ et de premier terme $u_0=200$.
\[\begin{aligned} u_n &= u_0\times q^n\\= 200\times \left(1,1\right)^n\end{aligned}\]
Comme $1,1>1$ et $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
L’année 2024 correspond à $n=4$. \[\begin{aligned} u_4 &= 200\times \left(1,1\right)^4\\= \np{292,82}\end{aligned}\] Donc, en 2024, le nombre de trajets est d’environ 293 milliers.
Le nombre total de trajets entre 2020 et 2024 inclus est : \[\begin{aligned} u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 &= 200\dfrac{1-\left(1,1\right)^5}{1-1,1}\\= \np{1221,02} \end{aligned}\] en milliers.
La proportion de trajets effectués le week-end avec un vélo électrique est : \[ 0,3\times 0,4 = 0,12. \] Donc le nombre correspondant vaut : \[\begin{aligned} 0,12\times \np{1221,02} &= \np{146,5224}\end{aligned}\] soit environ 147 milliers de trajets.