EX_0331 – Une jeune entreprise comptait 1200 abonné

Énoncé

Une jeune entreprise comptait 1200 abonné.es à sa lettre d’information au début de l’année 2024. On suppose que ce nombre augmente de $15 \%$ chaque mois.

On modélise le nombre d’abonné.es, au bout de $n$ mois, par une suite $(a_n)$, avec $a_0=1200$.

Montrer que la suite $(a_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
Étudier le sens de variation de la suite $(a_n)$.
Calculer le nombre d’abonné.es au bout de 6 mois. Arrondir à l’unité.
On considère la fonction Python suivante :
\lstinputlisting[style=pythonlycee]{code_seuil_ex4.py}

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item Une augmentation mensuelle de $15 \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,15$.  
            Donc, pour tout entier naturel $n$ :
            \[
            a_{n+1}=1,15a_n.
            \]
            La suite $(a_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,15$ et de premier terme $a_0=1200$.
            
            \item
            \begin{flalign*}
                a_n &= a_0\times q^n&\\
                &= 1200\times \left(1,15\right)^n&
            \end{flalign*}
            
            \item Comme $1,15>1$ et $a_0>0$, la suite $(a_n)$ est croissante.
            
            \item
            \begin{flalign*}
                a_6 &= 1200\times \left(1,15\right)^6&\\
                &\approx \np{2774,55}&
            \end{flalign*}
            Donc, au bout de 6 mois, il y a environ $\np{2775}$ abonné.es.
            
            \item \begin{enumerate}
                \item Cette fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $a_n\geq 2500$.
                
                Or :
                \[
                a_5=1200\times 1,15^5 \approx \np{2412,65}<2500
                \]
                et
                \[
                a_6=1200\times 1,15^6 \approx \np{2774,55}\geq 2500.
                \]
                La fonction renvoie donc $6$.
                
                \item Cela signifie qu’au bout de 6 mois, le nombre d’abonné.es atteint ou dépasse 2500.
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}

Correction

Une augmentation mensuelle de $15 \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,15$. Donc, pour tout entier naturel $n$ : \[ a_{n+1}=1,15a_n. \] La suite $(a_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,15$ et de premier terme $a_0=1200$.
\[\begin{aligned} a_n &= a_0\times q^n\\= 1200\times \left(1,15\right)^n\end{aligned}\]
Comme $1,15>1$ et $a_0>0$, la suite $(a_n)$ est croissante.
\[\begin{aligned} a_6 &= 1200\times \left(1,15\right)^6\\\approx \np{2774,55}\end{aligned}\] Donc, au bout de 6 mois, il y a environ $\np{2775}$ abonné.es.