EX_0332 – Lors de sa première semaine de...

Énoncé

Lors de sa première semaine de sortie, un jeu vidéo s’est vendu à $\np{50000}$ exemplaires.  
    On suppose que, chaque semaine, le nombre d’exemplaires vendus représente $70 \%$ de celui de la semaine précédente.
    
    On note $s_n$ le nombre d’exemplaires vendus durant la semaine de rang $n+1$. Ainsi, $s_0=\np{50000}$.
    
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $(s_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
        \item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$.
        \item Étudier le sens de variation de la suite $(s_n)$.
        \item Calculer le nombre d’exemplaires vendus pendant la sixième semaine. Arrondir à l’unité.
        \item On estime que, sur les sept premières semaines, $80 \%$ des exemplaires vendus le sont en version dématérialisée et que $15 \%$ de ces versions dématérialisées sont des éditions deluxe.  
        Montrer que le nombre total d’éditions deluxe dématérialisées vendues sur les sept premières semaines est d’environ $\np{18353}$.
    \end{enumerate}

On note $s_n$ le nombre d’exemplaires vendus durant la semaine de rang $n+1$. Ainsi, $s_0=\np{50000}$.

Montrer que la suite $(s_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Exprimer $s_n$ en fonction de $n$.
Étudier le sens de variation de la suite $(s_n)$.
Calculer le nombre d’exemplaires vendus pendant la sixième semaine. Arrondir à l’unité.
On estime que, sur les sept premières semaines, $80 \%$ des exemplaires vendus le sont en version dématérialisée et que $15 \%$ de ces versions dématérialisées sont des éditions deluxe. Montrer que le nombre total d’éditions deluxe dématérialisées vendues sur les sept premières semaines est d’environ $\np{18353}$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item Chaque semaine, les ventes représentent $70 \%$ de celles de la semaine précédente.  
            Donc :
            \[
            s_{n+1}=0,7s_n.
            \]
            La suite $(s_n)$ est donc géométrique de raison $q=0,7$ et de premier terme $s_0=\np{50000}$.
            
            \item
            \begin{flalign*}
                s_n &= s_0\times q^n&\\
                &= \np{50000}\times \left(0,7\right)^n&
            \end{flalign*}
            
            \item Comme $0<0,7<1$ et $s_0>0$, la suite $(s_n)$ est décroissante.
            
            \item La sixième semaine correspond à $n=5$.
            \begin{flalign*}
                s_5 &= \np{50000}\times \left(0,7\right)^5&\\
                &= \np{8403,5}&
            \end{flalign*}
            Donc le nombre d’exemplaires vendus pendant la sixième semaine est d’environ $\np{8404}$.
            
            \item Sur les sept premières semaines, le nombre total d’exemplaires vendus est :
            \begin{flalign*}
                s_0+s_1+\dots+s_6 &= \np{50000}\dfrac{1-\left(0,7\right)^7}{1-0,7}&\\
                &= \np{152941,5}
            \end{flalign*}
            
            La proportion des éditions deluxe dématérialisées est :
            \[
            0,8\times 0,15 = 0,12.
            \]
            Donc leur nombre total est :
            \begin{flalign*}
                0,12\times \np{152941,5} &= \np{18352,98}&
            \end{flalign*}
            soit environ $\np{18353}$ éditions deluxe dématérialisées.
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}

Correction

Chaque semaine, les ventes représentent $70 \%$ de celles de la semaine précédente. Donc : \[ s_{n+1}=0,7s_n. \] La suite $(s_n)$ est donc géométrique de raison $q=0,7$ et de premier terme $s_0=\np{50000}$.
\[\begin{aligned} s_n &= s_0\times q^n\\= \np{50000}\times \left(0,7\right)^n\end{aligned}\]
Comme $0<0,7<1$ et $s_0>0$, la suite $(s_n)$ est décroissante.
La sixième semaine correspond à $n=5$. \[\begin{aligned} s_5 &= \np{50000}\times \left(0,7\right)^5\\= \np{8403,5}\end{aligned}\] Donc le nombre d’exemplaires vendus pendant la sixième semaine est d’environ $\np{8404}$.
Sur les sept premières semaines, le nombre total d’exemplaires vendus est : \[\begin{aligned} s_0+s_1+\dots+s_6 &= \np{50000}\dfrac{1-\left(0,7\right)^7}{1-0,7}\\= \np{152941,5} \end{aligned}\]
La proportion des éditions deluxe dématérialisées est : \[ 0,8\times 0,15 = 0,12. \] Donc leur nombre total est : \[\begin{aligned} 0,12\times \np{152941,5} &= \np{18352,98}\end{aligned}\] soit environ $\np{18353}$ éditions deluxe dématérialisées.