EX_0333 – Lors d’une opération promotionnelle,...

Énoncé

Lors d’une opération promotionnelle, une librairie propose un ticket à gratter à la caisse.  
Un client paie $0,80$ € pour participer.

On note :
\begin{itemize}
    \item $G$ l’événement : « le ticket est gagnant » ;
    \item $L$ l’événement : « le lot obtenu est le gros lot ».
\end{itemize}

Une étude montre que :
\begin{itemize}
    \item $P(G)=0,25$ ;
    \item $P_G(L)=0,20$.
\end{itemize}

Lorsque le ticket est perdant, le client ne gagne rien.  
Lorsque le ticket est gagnant :
\begin{itemize}
    \item s’il obtient le gros lot, il reçoit un bon d’achat d’une valeur de $g$ € ;
    \item sinon, il reçoit un marque-page offert, ce qui compense exactement sa mise.
\end{itemize}

On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du client.

\begin{enumerate}
    \item Représenter la situation par un arbre de probabilités.
    \item Calculer :
    \begin{enumerate}
        \item la probabilité qu’un client obtienne le gros lot ;
        \item la probabilité qu’un client reparte simplement remboursé.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    \item Montrer que $E(X)=0,05g-0,64$.
    \item Pour quelles valeurs de $g$ la librairie peut-elle espérer réaliser un bénéfice moyen sur un grand nombre de tickets ?
\end{enumerate}

Lors d’une opération promotionnelle, une librairie propose un ticket à gratter à la caisse. Un client paie $0,80$ € pour participer.

On note :

$G$ l’événement : « le ticket est gagnant » ;
$L$ l’événement : « le lot obtenu est le gros lot ».

Une étude montre que :

$P(G)=0,25$ ;
$P_G(L)=0,20$.

Lorsque le ticket est perdant, le client ne gagne rien. Lorsque le ticket est gagnant :

s’il obtient le gros lot, il reçoit un bon d’achat d’une valeur de $g$ € ;
sinon, il reçoit un marque-page offert, ce qui compense exactement sa mise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du client.

Représenter la situation par un arbre de probabilités.
Calculer :
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Montrer que $E(X)=0,05g-0,64$.
Pour quelles valeurs de $g$ la librairie peut-elle espérer réaliser un bénéfice moyen sur un grand nombre de tickets ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item L’arbre est donné ci-dessous.
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item $P(L)=P(G\cap L)=P(G)\times P_G(L)=0,25\times 0,20=0,05$.
        \item La probabilité d’être remboursé est :
        \[
        P(G\cap \overline{L})=0,25\times 0,80=0,20.
        \]
    \end{enumerate}
    \item Le client peut :
    \begin{itemize}
        \item perdre sa mise : gain $-0,8$ avec la probabilité $0,75$ ;
        \item être remboursé : gain $0$ avec la probabilité $0,20$ ;
        \item obtenir le gros lot : gain $g-0,8$ avec la probabilité $0,05$.
    \end{itemize}
    La loi de $X$ est donc :
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        $x_i$ & $-0,8$ & $0$ & $g-0,8$ \\
        \hline
        $P(X=x_i)$ & $0,75$ & $0,20$ & $0,05$ \\
        \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \item
    \[
    E(X)=(-0,8)\times 0,75 + 0\times 0,20 + (g-0,8)\times 0,05
    \]
    \[
    E(X)=-0,60+0,05g-0,04=0,05g-0,64.
    \]
    \item La librairie espère un bénéfice lorsque le gain moyen du client est négatif :
    \[
    0,05g-0,64<0
    \]
    \[
    0,05g<0,64
    \]
    \[
    g<12,8.
    \]
    La librairie peut donc espérer réaliser un bénéfice si le bon d’achat du gros lot a une valeur strictement inférieure à $12,80$ €.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

L’arbre est donné ci-dessous.
Le client peut :
La loi de $X$ est donc :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(X)=(-0,8)\times 0,75 + 0\times 0,20 + (g-0,8)\times 0,05 \] \[ E(X)=-0,60+0,05g-0,04=0,05g-0,64. \]
La librairie espère un bénéfice lorsque le gain moyen du client est négatif : \[ 0,05g-0,64<0 \] \[ 0,05g<0,64 \] \[ g<12,8. \] La librairie peut donc espérer réaliser un bénéfice si le bon d’achat du gros lot a une valeur strictement inférieure à $12,80$ €.