EX_0334 – Une entreprise fabrique des écrans...

Énoncé

Une entreprise fabrique des écrans pour bornes interactives.  
Sur $200$ écrans produits :
\begin{itemize}
    \item $18$ présentent uniquement un défaut de rayure ;
    \item $10$ présentent uniquement un défaut de pixels ;
    \item $4$ présentent les deux défauts ;
    \item les autres ne présentent aucun défaut.
\end{itemize}

Le coût de fabrication d’un écran est de $45$ €.

Si un écran présente :
\begin{itemize}
    \item un défaut de rayure, une reprise de $8$ € est nécessaire ;
    \item un défaut de pixels, une reprise de $12$ € est nécessaire.
\end{itemize}

On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût total de revient d’un écran choisi au hasard.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    \item Calculer $E(X)$.
    \item Interpréter le résultat obtenu.
    \item L’entreprise vend chaque écran $54$ €.
    \begin{enumerate}
        \item Réalise-t-elle un bénéfice moyen ?
        \item Quel prix de vente unitaire devrait-elle fixer pour espérer un bénéfice moyen de $7$ € par écran ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

Une entreprise fabrique des écrans pour bornes interactives. Sur $200$ écrans produits :

$18$ présentent uniquement un défaut de rayure ;
$10$ présentent uniquement un défaut de pixels ;
$4$ présentent les deux défauts ;
les autres ne présentent aucun défaut.

Le coût de fabrication d’un écran est de $45$ €.

Si un écran présente :

un défaut de rayure, une reprise de $8$ € est nécessaire ;
un défaut de pixels, une reprise de $12$ € est nécessaire.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût total de revient d’un écran choisi au hasard.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer $E(X)$.
Interpréter le résultat obtenu.
L’entreprise vend chaque écran $54$ €.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item Les différents coûts possibles sont :
    \begin{itemize}
        \item $45$ € sans défaut ;
        \item $53$ € avec seulement le défaut de rayure ;
        \item $57$ € avec seulement le défaut de pixels ;
        \item $65$ € avec les deux défauts.
    \end{itemize}
    Le nombre d’écrans sans défaut est :
    \[
    200-18-10-4=168.
    \]
    La loi de $X$ est donc :
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
        \hline
        $x_i$ & $45$ & $53$ & $57$ & $65$ \\
        \hline
        $P(X=x_i)$ & $\dfrac{168}{200}$ & $\dfrac{18}{200}$ & $\dfrac{10}{200}$ & $\dfrac{4}{200}$ \\
        \hline
        & $0,84$ & $0,09$ & $0,05$ & $0,02$ \\
        \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \item
    \[
    E(X)=45\times 0,84+53\times 0,09+57\times 0,05+65\times 0,02
    \]
    \[
    E(X)=37,8+4,77+2,85+1,3=46,72.
    \]
    Donc :
    \[
    E(X)=46,72 \text{ €}.
    \]
    \item En moyenne, un écran produit coûte $46,72$ € à l’entreprise.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Si l’écran est vendu $54$ € :
        \[
        54-46,72=7,28.
        \]
        L’entreprise réalise donc un bénéfice moyen de $7,28$ € par écran.
        \item Pour obtenir un bénéfice moyen de $7$ € par écran, il faut vendre chaque écran :
        \[
        46,72+7=53,72.
        \]
        Il faudrait donc fixer le prix de vente à $53,72$ €.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Les différents coûts possibles sont :
Le nombre d’écrans sans défaut est : \[ 200-18-10-4=168. \] La loi de $X$ est donc :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(X)=45\times 0,84+53\times 0,09+57\times 0,05+65\times 0,02 \] \[ E(X)=37,8+4,77+2,85+1,3=46,72. \] Donc : \[ E(X)=46,72 \text{ €}. \]
En moyenne, un écran produit coûte $46,72$ € à l’entreprise.