EX_0335 – Une compagnie aérienne propose à ses...

Énoncé

Une compagnie aérienne propose à ses clients une option « Bagage zen » facturée $5$ €.

On note :
\begin{itemize}
    \item $I$ l’événement : « le bagage subit un incident » ;
    \item $M$ l’événement : « l’incident est majeur ».
\end{itemize}

Les statistiques de la compagnie indiquent que :
\begin{itemize}
    \item $P(I)=0,20$ ;
    \item lorsqu’il y a un incident, la probabilité qu’il soit majeur est égale à $0,25$.
\end{itemize}

Si le client a souscrit cette option :
\begin{itemize}
    \item en cas d’incident majeur, il reçoit une indemnité de $m$ € ;
    \item en cas d’incident mineur, il reçoit un bon d’achat de $8$ € ;
    \item en l’absence d’incident, il ne reçoit rien.
\end{itemize}

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du client ayant souscrit l’option.

\begin{enumerate}
    \item Représenter la situation par un arbre de probabilités.
    \item Calculer :
    \begin{enumerate}
        \item la probabilité d’un incident majeur ;
        \item la probabilité d’un incident mineur.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
    \item Montrer que $E(Y)=0,05m-3,80$.
    \item Pour quelles valeurs de $m$ la compagnie peut-elle espérer réaliser un bénéfice moyen sur un grand nombre d’options vendues ?
\end{enumerate}

Une compagnie aérienne propose à ses clients une option « Bagage zen » facturée $5$ €.

On note :

$I$ l’événement : « le bagage subit un incident » ;
$M$ l’événement : « l’incident est majeur ».

Les statistiques de la compagnie indiquent que :

$P(I)=0,20$ ;
lorsqu’il y a un incident, la probabilité qu’il soit majeur est égale à $0,25$.

Si le client a souscrit cette option :

en cas d’incident majeur, il reçoit une indemnité de $m$ € ;
en cas d’incident mineur, il reçoit un bon d’achat de $8$ € ;
en l’absence d’incident, il ne reçoit rien.

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du client ayant souscrit l’option.

Représenter la situation par un arbre de probabilités.
Calculer :
Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
Montrer que $E(Y)=0,05m-3,80$.
Pour quelles valeurs de $m$ la compagnie peut-elle espérer réaliser un bénéfice moyen sur un grand nombre d’options vendues ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item L’arbre est donné ci-dessous.
    \item
    \begin{enumerate}
        \item
        \[
        P(M)=P(I\cap M)=0,20\times 0,25=0,05.
        \]
        \item L’incident mineur correspond à $I\cap \overline{M}$ :
        \[
        P(I\cap \overline{M})=0,20\times 0,75=0,15.
        \]
    \end{enumerate}
    \item Le client peut :
    \begin{itemize}
        \item perdre sa mise : gain $-5$ avec la probabilité $0,80$ ;
        \item recevoir un bon d’achat de $8$ € : gain $8-5=3$ avec la probabilité $0,15$ ;
        \item recevoir l’indemnité majeure : gain $m-5$ avec la probabilité $0,05$.
    \end{itemize}
    La loi de $Y$ est donc :
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        $y_i$ & $-5$ & $3$ & $m-5$ \\
        \hline
        $P(Y=y_i)$ & $0,80$ & $0,15$ & $0,05$ \\
        \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \item
    \[
    E(Y)=(-5)\times 0,80 + 3\times 0,15 + (m-5)\times 0,05
    \]
    \[
    E(Y)=-4+0,45+0,05m-0,25=0,05m-3,80.
    \]
    \item La compagnie espère un bénéfice lorsque le gain moyen du client est négatif :
    \[
    0,05m-3,80<0
    \]
    \[
    0,05m<3,80
    \]
    \[
    m<76.
    \]
    La compagnie peut donc espérer réaliser un bénéfice si l’indemnité majeure est strictement inférieure à $76$ €.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

L’arbre est donné ci-dessous.
Le client peut :
La loi de $Y$ est donc :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(Y)=(-5)\times 0,80 + 3\times 0,15 + (m-5)\times 0,05 \] \[ E(Y)=-4+0,45+0,05m-0,25=0,05m-3,80. \]
La compagnie espère un bénéfice lorsque le gain moyen du client est négatif : \[ 0,05m-3,80<0 \] \[ 0,05m<3,80 \] \[ m<76. \] La compagnie peut donc espérer réaliser un bénéfice si l’indemnité majeure est strictement inférieure à $76$ €.