EX_0336 – Dans une tombola, un joueur paie $3$...

Énoncé

Dans une tombola, un joueur paie $3$ € pour tourner une roue partagée en $20$ secteurs identiques :

$8$ secteurs font gagner $0$ € ;
$6$ secteurs font gagner $2$ € ;
$4$ secteurs font gagner $5$ € ;
$2$ secteurs font gagner $10$ €.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l’espérance $E(X)$.
Interpréter le résultat.
Les organisateurs souhaitent que le gain moyen du joueur soit nul. Quel devrait être le prix de la participation ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item Comme le joueur paie $3$ €, les gains algébriques possibles sont :
    \begin{itemize}
        \item $-3$ ;
        \item $-1$ ;
        \item $2$ ;
        \item $7$.
    \end{itemize}

Les probabilités associées sont :
    \[
    \frac{8}{20}=0,4,\quad \frac{6}{20}=0,3,\quad \frac{4}{20}=0,2,\quad \frac{2}{20}=0,1.
    \]

La loi de probabilité de $X$ est donc :

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $x_i$ & $-3$ & $-1$ & $2$ & $7$ \\
    \hline
    $P(X=x_i)$ & $0,4$ & $0,3$ & $0,2$ & $0,1$ \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

\item
    \[
    E(X)=(-3)\times 0,4+(-1)\times 0,3+2\times 0,2+7\times 0,1
    \]
    \[
    E(X)=-1,2-0,3+0,4+0,7=-0,4.
    \]

Donc :
    \[
    E(X)=-0,4.
    \]

\item En moyenne, un joueur perd $0,40$ € à chaque partie.  
    Cela signifie qu’en moyenne les organisateurs gagnent $0,40$ € par partie.

\item Si on note $p$ le prix de la participation, les gains algébriques deviennent :
    \[
    -p,\quad 2-p,\quad 5-p,\quad 10-p.
    \]

Le gain moyen vaut alors :
    \[
    E= (-p)\times 0,4 + (2-p)\times 0,3 + (5-p)\times 0,2 + (10-p)\times 0,1.
    \]
    \[
    E=-p(0,4+0,3+0,2+0,1)+0,6+1+1
    \]
    \[
    E=-p+2,6.
    \]

Pour que le gain moyen du joueur soit nul :
    \[
    -p+2,6=0
    \]
    \[
    p=2,6.
    \]

Le prix devrait donc être fixé à $2,60$ €.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Comme le joueur paie $3$ €, les gains algébriques possibles sont :
Les probabilités associées sont : \[ \frac{8}{20}=0,4,\quad \frac{6}{20}=0,3,\quad \frac{4}{20}=0,2,\quad \frac{2}{20}=0,1. \]

La loi de probabilité de $X$ est donc :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(X)=(-3)\times 0,4+(-1)\times 0,3+2\times 0,2+7\times 0,1 \] \[ E(X)=-1,2-0,3+0,4+0,7=-0,4. \]
Donc : \[ E(X)=-0,4. \]
En moyenne, un joueur perd $0,40$ € à chaque partie. Cela signifie qu’en moyenne les organisateurs gagnent $0,40$ € par partie.
Si on note $p$ le prix de la participation, les gains algébriques deviennent : \[ -p,\quad 2-p,\quad 5-p,\quad 10-p. \]

Le gain moyen vaut alors : \[ E= (-p)\times 0,4 + (2-p)\times 0,3 + (5-p)\times 0,2 + (10-p)\times 0,1. \] \[ E=-p(0,4+0,3+0,2+0,1)+0,6+1+1 \] \[ E=-p+2,6. \]

Pour que le gain moyen du joueur soit nul : \[ -p+2,6=0 \] \[ p=2,6. \]

Le prix devrait donc être fixé à $2,60$ €.