EX_0337 – Au basket, un joueur tente deux...

Énoncé

Au basket, un joueur tente deux lancers francs successifs. On suppose que les deux tirs sont indépendants et que la probabilité de réussir un lancer franc est $0,7$.

Le joueur paie $4$ € pour participer à un défi. Il reçoit ensuite :

$0$ € s’il ne réussit aucun tir ;
$3$ € s’il réussit exactement un tir ;
$10$ € s’il réussit les deux tirs.

On note $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

Représenter la situation par un arbre de probabilités.
Calculer la probabilité d’obtenir :
Déterminer la loi de probabilité de $Z$.
Calculer l’espérance $E(Z)$.
Ce jeu est-il favorable au joueur ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item L’arbre pondéré est donné ci-dessous.

\item
    \begin{enumerate}
        \item Aucun tir réussi :
        \[
        P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})=0,3\times 0,3=0,09.
        \]

\item Exactement un tir réussi :
        \[
        P(R_1\cap \overline{R_2})+P(\overline{R_1}\cap R_2)=0,7\times 0,3+0,3\times 0,7=0,42.
        \]

\item Deux tirs réussis :
        \[
        P(R_1\cap R_2)=0,7\times 0,7=0,49.
        \]
    \end{enumerate}

\item Les gains algébriques possibles sont :
    \begin{itemize}
        \item $-4$ si aucun tir n’est réussi ;
        \item $-1$ si exactement un tir est réussi ;
        \item $6$ si les deux tirs sont réussis.
    \end{itemize}

La loi de probabilité de $Z$ est donc :

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $z_i$ & $-4$ & $-1$ & $6$ \\
    \hline
    $P(Z=z_i)$ & $0,09$ & $0,42$ & $0,49$ \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

\item
    \[
    E(Z)=(-4)\times 0,09+(-1)\times 0,42+6\times 0,49
    \]
    \[
    E(Z)=-0,36-0,42+2,94=2,16.
    \]

Donc :
    \[
    E(Z)=2,16.
    \]

\item Le gain moyen du joueur est positif.  
    Le jeu est donc favorable au joueur.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

L’arbre pondéré est donné ci-dessous.
Les gains algébriques possibles sont :
La loi de probabilité de $Z$ est donc :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(Z)=(-4)\times 0,09+(-1)\times 0,42+6\times 0,49 \] \[ E(Z)=-0,36-0,42+2,94=2,16. \]
Donc : \[ E(Z)=2,16. \]
Le gain moyen du joueur est positif. Le jeu est donc favorable au joueur.