EX_0338 – On lance deux dés équilibrés à six...

Énoncé

On lance deux dés équilibrés à six faces et on note la somme des points obtenus.

Un joueur paie $3$ € pour participer à un jeu.

Si la somme obtenue est strictement inférieure à $7$, il ne gagne rien.
Si la somme obtenue est égale à $7$, il reçoit $5$ €.
Si la somme obtenue est strictement supérieure à $7$, il reçoit $8$ €.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l’espérance $E(X)$.
Interpréter le résultat.
Le jeu est-il favorable au joueur ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item Les $36$ issues sont équiprobables.

\begin{itemize}
        \item La somme est strictement inférieure à $7$ pour les sommes $2,3,4,5,6$, soit :
        \[
        1+2+3+4+5=15 \text{ issues.}
        \]
        \item La somme est égale à $7$ pour :
        \[
        (1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1),
        \]
        soit $6$ issues.
        \item La somme est strictement supérieure à $7$, donc dans les $36-15-6=15$ cas restants.
    \end{itemize}

Les gains algébriques possibles sont :
    \begin{itemize}
        \item $-3$ si le joueur ne gagne rien ;
        \item $5-3=2$ si la somme vaut $7$ ;
        \item $8-3=5$ si la somme est strictement supérieure à $7$.
    \end{itemize}

Ainsi, la loi de probabilité de $X$ est :

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $x_i$ & $-3$ & $2$ & $5$ \\
    \hline
    $P(X=x_i)$ & $\dfrac{15}{36}$ & $\dfrac{6}{36}$ & $\dfrac{15}{36}$ \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

\item
    \[
    E(X)=(-3)\times \frac{15}{36}+2\times \frac{6}{36}+5\times \frac{15}{36}
    \]
    \[
    E(X)=\frac{-45+12+75}{36}=\frac{42}{36}=\frac{7}{6}.
    \]

Donc :
    \[
    E(X)=\frac{7}{6}\approx 1,17.
    \]

\item En moyenne, le joueur gagne environ $1,17$ € par partie.

\item Comme l’espérance est positive, le jeu est favorable au joueur.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Les $36$ issues sont équiprobables.
Les gains algébriques possibles sont :

Ainsi, la loi de probabilité de $X$ est :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(X)=(-3)\times \frac{15}{36}+2\times \frac{6}{36}+5\times \frac{15}{36} \] \[ E(X)=\frac{-45+12+75}{36}=\frac{42}{36}=\frac{7}{6}. \]
Donc : \[ E(X)=\frac{7}{6}\approx 1,17. \]
En moyenne, le joueur gagne environ $1,17$ € par partie.
Comme l’espérance est positive, le jeu est favorable au joueur.