EX_0339 – Une urne contient $5$ boules...

Énoncé

Une urne contient $5$ boules indiscernables au toucher :
\begin{itemize}
    \item $2$ boules rouges ;
    \item $2$ boules bleues ;
    \item $1$ boule verte.
\end{itemize}

On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne.

Le joueur paie $4$ € pour participer.
\begin{itemize}
    \item S’il obtient deux boules de même couleur, il reçoit $10$ €.
    \item S’il obtient une boule rouge et une boule verte, dans n’importe quel ordre, il reçoit $6$ €.
    \item Dans tous les autres cas, il ne reçoit rien.
\end{itemize}

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

\begin{enumerate}
    \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
    \item Calculer la probabilité d’obtenir :
    \begin{enumerate}
        \item deux boules de même couleur ;
        \item une boule rouge et une boule verte.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
    \item Calculer l’espérance $E(Y)$.
    \item Le jeu est-il favorable à l’organisateur ?
\end{enumerate}

Une urne contient $5$ boules indiscernables au toucher :

$2$ boules rouges ;
$2$ boules bleues ;
$1$ boule verte.

On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne.

Le joueur paie $4$ € pour participer.

S’il obtient deux boules de même couleur, il reçoit $10$ €.
S’il obtient une boule rouge et une boule verte, dans n’importe quel ordre, il reçoit $6$ €.
Dans tous les autres cas, il ne reçoit rien.

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité d’obtenir :
Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
Calculer l’espérance $E(Y)$.
Le jeu est-il favorable à l’organisateur ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
    \item L'arbre pondéré est donné ci-dessous.

\item
    \begin{enumerate}
        \item Deux boules de même couleur signifie ici :
        \[
        RR \text{ ou } BB
        \]
        car il n’y a qu’une seule boule verte.

On a :
        \[
        P(RR)=\frac25\times \frac14=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}
        \]
        et
        \[
        P(BB)=\frac25\times \frac14=\frac{1}{10}.
        \]

Donc :
        \[
        P(\text{même couleur})=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}.
        \]

\item Obtenir une rouge et une verte signifie :
        \[
        RV \text{ ou } VR.
        \]

Or :
        \[
        P(RV)=\frac25\times \frac14=\frac{1}{10}
        \]
        et
        \[
        P(VR)=\frac15\times \frac24=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.
        \]

Donc :
        \[
        P(\text{une rouge et une verte})=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}.
        \]
    \end{enumerate}

\item Les gains algébriques possibles sont :
    \begin{itemize}
        \item $10-4=6$ si le joueur obtient deux boules de même couleur ;
        \item $6-4=2$ s’il obtient une rouge et une verte ;
        \item $-4$ dans tous les autres cas.
    \end{itemize}

Comme
    \[
    P(\text{autres cas})=1-\frac15-\frac15=\frac35,
    \]
    la loi de probabilité de $Y$ est :

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $y_i$ & $6$ & $2$ & $-4$ \\
    \hline
    $P(Y=y_i)$ & $\frac15$ & $\frac15$ & $\frac35$ \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

\item
    \[
    E(Y)=6\times \frac15+2\times \frac15+(-4)\times \frac35
    \]
    \[
    E(Y)=\frac65+\frac25-\frac{12}{5}=-\frac45.
    \]

Donc :
    \[
    E(Y)=-\frac45=-0,8.
    \]

\item Le gain moyen du joueur est négatif.  
    Donc le jeu est favorable à l’organisateur.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

L'arbre pondéré est donné ci-dessous.
Les gains algébriques possibles sont :
Comme \[ P(\text{autres cas})=1-\frac15-\frac15=\frac35, \] la loi de probabilité de $Y$ est :

[ Tableau - non rendu en aperçu ]
\[ E(Y)=6\times \frac15+2\times \frac15+(-4)\times \frac35 \] \[ E(Y)=\frac65+\frac25-\frac{12}{5}=-\frac45. \]
Donc : \[ E(Y)=-\frac45=-0,8. \]
Le gain moyen du joueur est négatif. Donc le jeu est favorable à l’organisateur.