EX_0340 – On considère la fonction $f$ définie...

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x)=(3x-1)e^x\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Montrer que pour tout réel $x$ : \[f'(x)=(3x+2)e^x\]
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item $f$ est de la forme $uv$ avec $\sys{u = 3x-1}{v = e^x}$ donc $\sys{u'=3}{v'=e^x}$.            
            Ainsi pour tout réel $x$ :
            \[f'(x)= u'v+uv' = 3e^x + (3x-1)e^x = (3+3x-1)e^x = (3x+2)e^x\]

\item
            \begin{enumerate}
                \item Comme $e^x > 0$ pour tout réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3x+2$.
                
                $3x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{2}{3}$
                
                Donc : $f'(x) < 0$ si $x < -\dfrac{2}{3}$ \quad et \quad $f'(x) > 0$ si $x > -\dfrac{2}{3}$.

\item Tableau de variations de $f$ :

\begin{tablvar}[2.5cm]{2}
                    \hline
                    x                      & -\infty &   & -\frac{2}{3} &   & +\infty   \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }3x+2   &   & - & \barre[0] & + &       \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }e^x    &   & + & \barre    & + &       \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }f'(x)  &   & - & \barre[0] & + &       \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }f} &\haut{} && \bas{-3e^{-\frac{2}{3}}} && \haut{} }
                    \hline
                \end{tablvar}

\item $f$ est décroissante puis croissante : elle admet un \textbf{minimum} en $x = -\dfrac{2}{3}$.
                
                $f\!\left(-\dfrac{2}{3}\right) = \left(-2-1\right)e^{-\frac{2}{3}} = -3e^{-\frac{2}{3}} \approx -1{,}54$
            \end{enumerate}

\item La tangente à $\mathcal{C}$ en $x_0 = 0$ a pour équation $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.
            
            $f(0) = (0-1)e^0 = -1$ \quad et \quad $f'(0) = (0+2)e^0 = 2$.
            
            L'équation de la tangente est : $\boxed{y = 2x - 1}$
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

$f$ est de la forme $uv$ avec $\sys{u = 3x-1}{v = e^x}$ donc $\sys{u'=3}{v'=e^x}$. Ainsi pour tout réel $x$ : \[f'(x)= u'v+uv' = 3e^x + (3x-1)e^x = (3+3x-1)e^x = (3x+2)e^x\]
La tangente à $\mathcal{C}$ en $x_0 = 0$ a pour équation $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.
$f(0) = (0-1)e^0 = -1$ \quad et \quad $f'(0) = (0+2)e^0 = 2$.

L'équation de la tangente est : $\boxed{y = 2x - 1}$