EX_0341 – On considère la fonction $f$ définie...

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x)=\left(x^2+2x\right)e^x\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Calculer $f'(x)$ et montrer que : \[f'(x)=\left(x^2+4x+2\right)e^x\]
La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ? Si oui, en quels points ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item $f$ est de la forme $uv$ avec $\sys{u = x^2+2x}{v = e^x}$ donc $\sys{u'=2x+2}{v'=e^x}$.
            
            \[f'(x) = (2x+2)e^x + (x^2+2x)e^x = (x^2+4x+2)e^x\]

\item $\Delta = 16 - 8 = 8$, donc $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{2}$.
            
            $x_1 = -2-\sqrt{2} \approx -3{,}41$ \quad et \quad $x_2 = -2+\sqrt{2} \approx -0{,}59$

\item
            \begin{enumerate}
                \item Comme $e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2+4x+2$ :

$\Delta = 16 - 8 = 8>0 $ donc $x^2+4x+2$ admet deux racines à l'extérieur desquelles il est du signe de $a=1>0$.

$x_1 = -2-\sqrt{2}$ \quad et \quad $x_2 = -2+\sqrt{2}$
                
                $f'(x) > 0$ si $x < x_1$ ou $x > x_2$ \quad ; \quad $f'(x) < 0$ si $x_1 < x < x_2$.

\item Tableau de variations :

\begin{tablvar}[2.8cm]{3}
                    \hline
                    x                      & -\infty &   & -2-\sqrt{2} &   & -2+\sqrt{2} &   & +\infty \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }f'(x)  &   & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }f} &\bas{} && \haut{(2+2\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}} && \bas{(2-2\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}}} && \haut{} }
                    \hline
                \end{tablvar}

\item Maximum local en $x_1 = -2-\sqrt{2}$ :
                
                $f(x_1) = \bigl((-2-\sqrt{2})^2+2(-2-\sqrt{2})\bigr)e^{-2-\sqrt{2}} = (2+2\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}$
                
                Minimum local en $x_2 = -2+\sqrt{2}$ :
                
                $f(x_2) = \bigl((-2+\sqrt{2})^2+2(-2+\sqrt{2})\bigr)e^{-2+\sqrt{2}} = (2-2\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}}$
            \end{enumerate}

\item Les tangentes parallèles à l'axe des abscisses correspondent aux points où $f'(x) = 0$, soit en $x_1$ et $x_2$. La courbe $\mathcal{C}$ admet \textbf{deux} tangentes horizontales.
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

$f$ est de la forme $uv$ avec $\sys{u = x^2+2x}{v = e^x}$ donc $\sys{u'=2x+2}{v'=e^x}$.
\[f'(x) = (2x+2)e^x + (x^2+2x)e^x = (x^2+4x+2)e^x\]
$\Delta = 16 - 8 = 8$, donc $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{2}$.

$x_1 = -2-\sqrt{2} \approx -3{,}41$ \quad et \quad $x_2 = -2+\sqrt{2} \approx -0{,}59$
Les tangentes parallèles à l'axe des abscisses correspondent aux points où $f'(x) = 0$, soit en $x_1$ et $x_2$. La courbe $\mathcal{C}$ admet deux tangentes horizontales.