EX_0342 – On considère la fonction $f$ définie...

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x)=(x-1)e^x+1\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = xe^x$.
En déduire que pour tout réel $x$ : \[(x-1)e^x \geq -1\]
Vérifier que le point $A(1\,;\,e)$ n'appartient pas à $\mathcal{C}$, puis déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item $f$ est la somme de $(x-1)e^x$ et de la constante $1$.
            
            Posons $u = x-1$ et $v = e^x$, donc $u' = 1$ et $v' = e^x$.
            
            \[f'(x) = 1\cdot e^x + (x-1)\cdot e^x = e^x\bigl(1+x-1\bigr) = xe^x\]

\item
            \begin{enumerate}
                \item Comme $e^x > 0$, le signe de $f'(x) = xe^x$ est celui de $x$ :
                
                $f'(x) < 0$ si $x < 0$ \quad et \quad $f'(x) > 0$ si $x > 0$.

\item Tableau de variations de $f$ :

\begin{tablvar}[2.5cm]{2}
                    \hline
                    x                      & -\infty &   & 0 &   & +\infty \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }x      &   & - & \barre[0] & + & \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }e^x    &   & + & \barre    & + & \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }f'(x)  &   & - & \barre[0] & + & \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }f} &\haut{} && \bas{0} && \haut{} }
                    \hline
                \end{tablvar}

\item $f$ est décroissante puis croissante : elle admet un \textbf{minimum} en $x = 0$.
                
                $f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1+1 = 0$.
                
                Le minimum de $f$ est $\mathbf{0}$.
            \end{enumerate}

\item D'après le tableau de variations, pour tout réel $x$ : $f(x) \geq 0$, soit :
            
            $(x-1)e^x + 1 \geq 0$, c'est-à-dire : $\boxed{(x-1)e^x \geq -1}$

\item $f(1) = (1-1)e^1 + 1 = 0 + 1 = 1$, donc le point d'abscisse $1$ sur $\mathcal{C}$ est $B(1\,;\,1)$ (et non $A(1\,;\,e)$).
            
            $f'(1) = 1 \cdot e^1 = e$.
            
            La tangente à $\mathcal{C}$ en $B$ a pour équation : $y = e(x-1) + 1 = ex - e + 1$, soit $\boxed{y = ex - e + 1}$.
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

$f$ est la somme de $(x-1)e^x$ et de la constante $1$.
Posons $u = x-1$ et $v = e^x$, donc $u' = 1$ et $v' = e^x$.

\[f'(x) = 1\cdot e^x + (x-1)\cdot e^x = e^x\bigl(1+x-1\bigr) = xe^x\]
D'après le tableau de variations, pour tout réel $x$ : $f(x) \geq 0$, soit :

$(x-1)e^x + 1 \geq 0$, c'est-à-dire : $\boxed{(x-1)e^x \geq -1}$
$f(1) = (1-1)e^1 + 1 = 0 + 1 = 1$, donc le point d'abscisse $1$ sur $\mathcal{C}$ est $B(1\,;\,1)$ (et non $A(1\,;\,e)$).

$f'(1) = 1 \cdot e^1 = e$.

La tangente à $\mathcal{C}$ en $B$ a pour équation : $y = e(x-1) + 1 = ex - e + 1$, soit $\boxed{y = ex - e + 1}$.