EX_0343 – On considère la fonction $f$ définie...

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x)=(1-2x)e^{2x}\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Montrer que pour tout réel $x$ : \[f'(x) = -4xe^{2x}\]
La courbe $\mathcal{C}$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel(s) point(s) ?
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item $f$ est de la forme $uv$ avec

$\begin{cases}
                u = 1-2x \\
                v = e^{2x}=g(ax+b)\\
                a= 2\text{ et }b=0\\
                g= e^x
            \end{cases}$
            donc 
            $\begin{cases}
                u' = -2\\
                v' = ag'(ax+b)=2e^{2x}\\
                g' = e^x
            \end{cases}$  ainsi :
            
            
            \[f'(x) = -2 \cdot e^{2x} + (1-2x) \cdot 2e^{2x} = e^{2x}\bigl(-2 + 2 - 4x\bigr) = -4xe^{2x}\]

\item
            \begin{enumerate}
                \item Comme $e^{2x} > 0$, le signe de $f'(x) = -4xe^{2x}$ est l'opposé de celui de $x$ :
                
                $f'(x) > 0$ si $x < 0$ \quad et \quad $f'(x) < 0$ si $x > 0$.

\item Tableau de variations de $f$ :

\begin{tablvar}[2.5cm]{2}
                    \hline
                    x                      & -\infty &   & 0 &   & +\infty \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }-4x    &   & + & \barre[0] & - & \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }e^{2x} &   & + & \barre    & + & \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }f'(x)  &   & + & \barre[0] & - & \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }f} &\bas{} && \haut{1} && \bas{} }
                    \hline
                \end{tablvar}

\item $f$ est croissante puis décroissante : elle admet un \textbf{maximum} en $x = 0$.
                
                $f(0) = (1-0)e^{0} = 1$. Le maximum de $f$ est $\mathbf{1}$.
            \end{enumerate}

\item $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses lorsque $f(x) = 0$ :
            
            $(1-2x)e^{2x} = 0$. Comme $e^{2x} \neq 0$, on a $1-2x = 0$, soit $x = \dfrac{1}{2}$.
            
            $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en l'unique point $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)$.

\item $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées en $x_0 = 0$, c'est-à-dire au point $A(0\,;\,1)$.
            
            $f'(0) = -4 \times 0 \times e^{0} = 0$.
            
            La tangente en $A$ a pour équation : $\boxed{y = 1}$
            
            (tangente horizontale, cohérente avec le maximum en $x = 0$).
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

$f$ est de la forme $uv$ avec
$\[\begin{cases} u = 1-2x \\ v = e^{2x}=g(ax+b)\\ a= 2\text{ et }b=0\\ g= e^x \end{cases}\]$ donc $\[\begin{cases} u' = -2\\ v' = ag'(ax+b)=2e^{2x}\\ g' = e^x \end{cases}\]$ ainsi :

\[f'(x) = -2 \cdot e^{2x} + (1-2x) \cdot 2e^{2x} = e^{2x}\bigl(-2 + 2 - 4x\bigr) = -4xe^{2x}\]
$\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses lorsque $f(x) = 0$ :

$(1-2x)e^{2x} = 0$. Comme $e^{2x} \neq 0$, on a $1-2x = 0$, soit $x = \dfrac{1}{2}$.

$\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en l'unique point $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)$.
$\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées en $x_0 = 0$, c'est-à-dire au point $A(0\,;\,1)$.

$f'(0) = -4 \times 0 \times e^{0} = 0$.

La tangente en $A$ a pour équation : $\boxed{y = 1}$

(tangente horizontale, cohérente avec le maximum en $x = 0$).