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Soit $f$ la fonction définie sur $D_f=]- ; 1[ ]1; + [$ par $f(x)= x-1 $
corrigé

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $D_f=]-\infty ; 1[\cup ]1; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}$. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$.

  1. Montrer que, pour tout $x\in D_f,\,f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$
  2. Soit $(d)$ la droite d'équation $y=-x+3$. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $(d)$
  3. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D_f$. Montrer que pour tout $x\in D_f,\,f'(x)=\dfrac{-(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition.
  5. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
  6. Peut-on trouver une tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à $(d)$?

Correction

Correction

  1. Pour tout $x\in D_f$ :
    $-x+3-\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{(-x+3)(x-1)-4}{x-1}=\dfrac{-x^2+x+3x-3-4}{x-1}=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}=f(x)$
  2. $f(x)-(-x+3)=-\dfrac{4}{x-1}$. Le signe de cette différence est l'opposé du signe de $x-1$.
  3. En utilisant l'écriture $f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$ : la dérivée de $-x+3$ est $-1$ et la dérivée de $-\dfrac{4}{x-1}=-4\times\dfrac{1}{x-1}$ est $-4\times\dfrac{-1}{(x-1)^2}=\dfrac{4}{(x-1)^2}$. Ainsi :
    $f'(x)=-1+\dfrac{4}{(x-1)^2}=\dfrac{-(x-1)^2+4}{(x-1)^2}=\dfrac{-(x^2-2x+1)+4}{(x-1)^2}=\dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}$
    Or $-x^2+2x+3=-(x^2-2x-3)=-(x+1)(x-3)$ (somme $2$, produit $-3$).
    D'où $f'(x)=\dfrac{-(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$.
  4. Sur $D_f$, $(x-1)^2>0$. On étudie le signe de $-(x+1)(x-3)$ avec un tableau :
    [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

    avec $f(-1)=\dfrac{-1-4-7}{-2}=\dfrac{-12}{-2}=6$ et $f(3)=\dfrac{-9+12-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$.

  5. L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$ est $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    $f(2)=\dfrac{-4+8-7}{1}=-3$ et $f'(2)=\dfrac{-(3)(-1)}{1^2}=3$
    Ainsi la tangente a pour équation $y=3(x-2)-3=3x-9$.
  6. Une tangente à $\mathscr{C}_f$ est parallèle à $(d)$ si et seulement si elle a le même coefficient directeur que $(d)$, c'est-à-dire $-1$. Il s'agit donc de résoudre $f'(x)=-1$.
    $f'(x)=-1\Leftrightarrow\dfrac{-(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}=-1\Leftrightarrow -(x+1)(x-3)=-(x-1)^2\Leftrightarrow(x+1)(x-3)=(x-1)^2$
    $\Leftrightarrow x^2-2x-3=x^2-2x+1\Leftrightarrow -3=1$
    Cette équation n'a aucune solution. On ne peut donc pas trouver de tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à $(d)$.