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Votre ami vient de passer les tests de dépistage d'une maladie rare et incurable...
corrigé

Énoncé

Votre ami vient de passer les tests de dépistage d'une maladie rare et incurable qui touche une personne sur $\np{100000}$. Malheureusement, le test est positif. Espérant une erreur de diagnostic, votre ami a demandé quelle était la probabilité d'une erreur : le spécialiste lui a répondu que, pour 99 \% des malades, le résultat est positif, alors que, pour 99,9 \% des personnes saines, le résultat est négatif.

Soient $M$ et $T$ les événements :

  • $M$ : « la personne est malade » ;
  • $T$ : « le test est positif ».

  1. Construire un arbre pondéré modélisant l'expérience.
  2. Déterminer la probabilité qu'une personne choisie ait un test positif.
  3. Déterminer la probabilité qu'une personne soit malade, sachant que le test est positif.
  4. Pouvez-vous rassurer votre ami ?

Correction

Correction

  1. D'après l'énoncé, $P(M)=\dfrac{1}{\np{100000}}=\np{0,00001}$ donc $P\left(\overline{M}\right)=1-\np{0,00001}=\np{0,99999}$. De plus $P_M(T)=0,99$ donc $P_M\left(\overline{T}\right)=0,01$, et $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)=0,999$ donc $P_{\overline{M}}(T)=0,001$. D'où l'arbre :

    \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$M$}^{\np{0,00001}}} { \TR{$T$}^{0,99} \TR{$\overline{T}$}_{0,01} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}_{\np{0,99999}}} { \TR{$T$}^{0,001} \TR{$\overline{T}$}_{0,999} } }

  2. $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales :
    $P(T)=P(M\cap T)+P\left(\overline{M}\cap T\right)=P(M)\times P_M(T)+P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}(T)$
    $P(T)=\np{0,00001}\times 0,99+\np{0,99999}\times 0,001=\np{0,0000099}+\np{0,00099999}=\np{0,00100989}$
    Ainsi $P(T)\approx \np{0,00101}$.
  3. Il s'agit de calculer $P_T(M)$ :
    $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{\np{0,00001}\times 0,99}{\np{0,00100989}}=\dfrac{\np{0,0000099}}{\np{0,00100989}}\approx \np{0,0098}$
    Ainsi la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif est environ $0,98\%$.
  4. Oui, on peut rassurer cet ami. Bien que son test soit positif, la probabilité qu'il soit réellement malade est inférieure à $1\%$. Ce phénomène contre-intuitif s'explique par la rareté de la maladie : il y a beaucoup plus de personnes saines testées positives à tort que de personnes réellement malades.