EX_0347 – On considère la suite $(u_n)$...

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $\sys{u_0=65}{u_{n+1}=1,2u_n+18}$

Calculer $u_1$ et $u_2$.
La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=u_n+90$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item $u_1=1,2\times u_0+18=1,2\times 65+18=78+18=96$\\
        $u_2=1,2\times u_1+18=1,2\times 96+18=115,2+18=133,2$

\item $u_1-u_0=96-65=31$ et $u_2-u_1=133,2-96=37,2$. Les différences ne sont pas constantes donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.\\
        $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{96}{65}\approx 1,477$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{133,2}{96}=1,3875$. Les quotients ne sont pas constants donc $(u_n)$ n'est pas géométrique.

\item
        \begin{enumerate}
            \item Pour tout $n\in\N$ : $v_{n+1}=u_{n+1}+90=1,2u_n+18+90=1,2u_n+108=1,2(u_n+90)=1,2v_n$

\item D'après la question précédente, $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $v_0=u_0+90=65+90=155$.

\item Pour tout $n\in\N$ : $v_n=v_0\times q^n=155\times 1,2^n$. Or $v_n=u_n+90$ donc $u_n=v_n-90=155\times 1,2^n-90$.

\item $u_{10}=155\times 1,2^{10}-90\approx 155\times 6,1917-90\approx 959,72-90\approx 869,72$
        \end{enumerate}

\item
        \begin{enumerate}
            \item Pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}-u_n=1,2u_n+18-u_n=0,2u_n+18$. Comme $u_0=65>0$ et que la relation $u_{n+1}=1,2u_n+18$ conserve la positivité, on a $u_n>0$ pour tout $n\in\N$, donc $0,2u_n+18>0$. Ainsi $u_{n+1}-u_n>0$ et la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

\item Les premiers termes calculés ($u_0=65$, $u_1=96$, $u_2=133,2$, ..., $u_{10}\approx 869,72$) montrent une croissance rapide. Comme $(v_n)$ est géométrique de raison $1,2>1$ avec $v_0>0$, $v_n$ tend vers $+\infty$. On conjecture donc que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

$u_1=1,2\times u_0+18=1,2\times 65+18=78+18=96$
$u_2=1,2\times u_1+18=1,2\times 96+18=115,2+18=133,2$
$u_1-u_0=96-65=31$ et $u_2-u_1=133,2-96=37,2$. Les différences ne sont pas constantes donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{96}{65}\approx 1,477$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{133,2}{96}=1,3875$. Les quotients ne sont pas constants donc $(u_n)$ n'est pas géométrique.