On considère la fonction $f$ définie sur $[-5,5]$ par $f(x)=-5x^2+4x+1$.

Calculer le nombre dérivé de $f$ en $3$

Correction

On commence par calculer le taux de variation entre $3$ et $3+h$: \[\begin{aligned} \tau_3(h) &=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\\=\dfrac{-5(3+h)^2+4(3+h)+1-(-5\times 3^2+4\times 3+1)}{h}\\=\dfrac{-5(9+6h+h^2)+12+4h+1+32}{h}\\=\dfrac{-5h^2-26h}{h}\\=\dfrac{h(-5h-26)}{h}\\=-5h-26 \end{aligned}\] On constate que, lorsque $h$ se rapproche de $0$, $\tau_3(h)$ se rapproche de $-26$. On en déduit que $f$ est dérivable en $3$ et que $\displaystyle f'(3)=\lim_{h\rightarrow 0}\tau_3(h)=-26$