Soit $g$ la fonction définie sur \R par $g(x)=2x^2-x+2$.

En utilisant un calcul de taux de variation, étudier la dérivabilité en $a$ ($a$ étant un réel quelconque) puis exprimer $g'(a)$ en fonction de $a$.

Correction

\[\begin{aligned} \tau_a(h) &= \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}\\= \dfrac{2(a+h)^2-(a+h)+2-(2a^2-a+2)}{h}\\= \dfrac{2(a^2+2ah+h^2)-a-h+2-2a^2+a-2}{h}\\= \dfrac{2a^2+4ah+2h^2-h-2a^2}{h}\\= \dfrac{4ah+2h^2-h}{h}\\= \dfrac{h(4a+2h-1)}{h}\\= 4a-1+2h\\ \end{aligned}\] On constate que, quelle que soit la valeur du réel $a$, $\tau_a(h)$ se rapproche de $4a-1$ lorsque $h$ se rapproche de $0$. Ainsi, pour tout $a$ la fonction $g$ est dérivable en $a$ et on a : $\displaystyle g'(a)= \lim_{h\rightarrow 0}\tau_a(h)=4a-1$