On considère la fonction $f$ définie sur $[-5,5]$ par $f(x)=-5x^2+4x+1$.

Calculer le nombre dérivé de $f$ en $2$

Correction

On commence par calculer le taux de variation entre $2$ et $2+h$: \[\begin{aligned} \tau_3(h) &=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\=\dfrac{-5(2+h)^2+4(2+h)+1-(-5\times 2^2+4\times 2+1)}{h}\\=\dfrac{-5(4+4h+h^2)+8+4h+1+11}{h}\\=\dfrac{-5h^2-16h}{h}\\=\dfrac{h(-5h-16)}{h}\\=-5h-16 \end{aligned}\] On constate que, lorsque $h$ se rapproche de $0$, $\tau_3(h)$ se rapproche de $-16$. On en déduit que $f$ est dérivable en $2$ et que $\displaystyle f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\tau_3(h)=-16$