EX_0358 – On considère une fonction $h$ dont...

← EX_0358

On considère une fonction $h$ dont la courbe est donnée ci-dessous

corrigé

Énoncé

On considère une fonction $h$ dont la courbe est donnée ci-dessous.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_h$ d'une fonction $h$ définie sur $[-3,5;5,5]$ ainsi que l'une de ses tangentes $T$.
\begin{center}
    \psset{xunit=1.125cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
    \begin{pspicture*}(-4.5,-6.5)(5.5,7.5)
        \multips(0,-6)(0,1.0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(-4.5,0)(5.5,0)}
        \multips(-4,0)(0.5,0){22}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(0,-6.5)(0,7.5)}
        \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.5,-6.5)(5.5,7.5)
        
        \psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-3.5}{5.5}{0.2*x^(3.0)-0.8*x^(2.0)-2.2*x+4.0}
        \psplot[linewidth=2.pt]{-4.5}{5.5}{(4.-2.2*x)/1.}
        
        \rput[bl](-3.3,-6){\Large $\mathscr{C}_h$}
        \rput[bl](4.4,-5){\Large $T$}
    \end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Lire graphiquement l'abscisse $a$ du point de tangence de $T$, la valeur de $h(a)$ et celle de $h'(a)$.
        \item En déduire l'équation réduite de la droite $T$.
    \end{enumerate}
    \item Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
    \begin{enumerate}
        \item le(s) valeur(s) $a$ pour le(s)quelle(s) le nombre dérivé $h'(a)$ est nul.
        \item un intervalle sur lequel tous les nombres dérivés de $h$ sont négatifs.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{xunit=1.125cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} (-4.5,-6.5)(5.5,7.5) \multips(0,-6)(0,1.0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(-4.5,0)(5.5,0)} \multips(-4,0)(0.5,0){22}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(0,-6.5)(0,7.5)} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.5,-6.5)(5.5,7.5)

\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-3.5}{5.5}{0.2*x^(3.0)-0.8*x^(2.0)-2.2*x+4.0} \psplot[linewidth=2.pt]{-4.5}{5.5}{(4.-2.2*x)/1.}

\rput[bl](-3.3,-6){\Large $\mathscr{C}_h$} \rput[bl](4.4,-5){\Large $T$}

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
    \begin{center}
    \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
    \begin{pspicture*}(-4.5,-6.5)(5.5,7.5)
        \multips(0,-6)(0,1.0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(-4.5,0)(5.5,0)}
        \multips(-4,0)(0.5,0){22}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(0,-6.5)(0,7.5)}
        \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.5,-6.5)(5.5,7.5)
        
        \psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-3.5}{5.5}{0.2*x^(3.0)-0.8*x^(2.0)-2.2*x+4.0}
        \psplot[linewidth=2.pt]{-4.5}{5.5}{(4.-2.2*x)/1.}
        
        \rput[bl](-3.3,-6){\Large $\mathscr{C}_h$}
        \rput[bl](4,-6){\Large $T$}
        
        \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(0,4)(5,4)
        \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(5,4)(5,-7)
        
        \rput[bl](2.25,4.2){\Large \red $h = 5$}
        \rput[bl](3.7,-1.5){\Large \red $v = -11$}
        
        \psplot[linewidth=2.5pt,plotpoints=200,linecolor = cadmiumgreen]{-1}{3.66}{0.2*x^(3.0)-0.8*x^(2.0)-2.2*x+4.0}
        \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=2pt 2pt,linewidth=2 pt,linecolor=cadmiumgreen]{-}(-1,5.2)(-1,0)
        \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=2pt 2pt,linewidth=2 pt,linecolor=cadmiumgreen]{-}(3.66,-4.96)(3.66,0)
        
        \psline[linewidth = 1.5pt,linecolor = blue](-4.5,5.2)(5.5,5.2)
        \rput[bl](-4,5.2){\Large \blue $T_1$}
        \psline[linewidth = 1.5pt,linecolor = blue](-4.5,-4.96)(5.5,-4.96)
        \rput[bl](-4.2,-4.8){\Large \blue $T_2$}
        
        \rput[bl](-1.5,-0.75){\Large $\tcv{\approx -1}$}
        \rput[bl](3.16,+0.25){\Large \red $\tcv{\approx 3.6}$}
    \end{pspicture*}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
            \item \begin{itemize}
                \item Le point de "contact" entre $\mathscr{C}_h$ et $T$ est le point de coordonnées $(0;4)$ on en déduit que l'abscisse du point de tangence est $a=0$
                \item Puisque le point de coordonnées $(0,4)$ appartient à $\mathscr{C}_h$ on en déduit que $h(a)=h(0)=4$
                \item Nous savons que $h'(a)=h'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$ de $\mathscr{C}_h$. Il s'agit donc du coefficient directeur de de la droite $T$. Ainsi $h'(a)=h'(0)=\dfrac{\tcr{v}}{\tcr{h}}=\dfrac{-11}{5}$
            \end{itemize}
            \item D'après le cours : 
            \begin{flalign*}
            T: y    &= h'(a)(x-a)+h(a) &\\
                y   &= h'(0)(x-0)+h(0) &\\
                y   &= -\dfrac{11}{5}x+4 &\\
            \end{flalign*}
        \end{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
            \item Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente. Ainsi, lorsque le nombre dérivé est nul, cela signifie que la tangente a un coefficient directeur nul. Or une droite ayant un coefficient directeur nul est une droite parallèle à l'axe des abscisses. On constate sur le graphique qu'il n'y a que deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses possibles : \tcb{$T_1$} et \tcb{$T_2$} qui sont respectivement tangentes aux points d'abscisses $-1$ et $-3,6$ (avec la précision permise par le graphique. On en déduit que $h'(-1)=h'(3,6)=0$.
            \item De même, un nombre dérivé négatif correspond à une tangente de coefficient directeur négatif c'est-à-dire à une droite "décroissante". En regardant le graphique, on constate que pour qu'une tangente soit décroissante il faut qu'elle soit tangente en un point autour duquel la fonction $h$ est elle-même décroissante ce qui correspond à la portion de courbe représentée en \tcv{vert}. On en déduit qu'un intervalle recherché est $]-1;3,6[$        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
        
        
        \end{varwidth}

Correction

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} (-4.5,-6.5)(5.5,7.5) \multips(0,-6)(0,1.0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(-4.5,0)(5.5,0)} \multips(-4,0)(0.5,0){22}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=gray]{c-c}(0,-6.5)(0,7.5)} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.5,-6.5)(5.5,7.5)

\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-3.5}{5.5}{0.2*x^(3.0)-0.8*x^(2.0)-2.2*x+4.0} \psplot[linewidth=2.pt]{-4.5}{5.5}{(4.-2.2*x)/1.}

\rput[bl](-3.3,-6){\Large $\mathscr{C}_h$} \rput[bl](4,-6){\Large $T$}

\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(0,4)(5,4) \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(5,4)(5,-7)

\rput[bl](2.25,4.2){\Large \red $h = 5$} \rput[bl](3.7,-1.5){\Large \red $v = -11$}

\psplot[linewidth=2.5pt,plotpoints=200,linecolor = cadmiumgreen]{-1}{3.66}{0.2*x^(3.0)-0.8*x^(2.0)-2.2*x+4.0} \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=2pt 2pt,linewidth=2 pt,linecolor=cadmiumgreen]{-}(-1,5.2)(-1,0) \psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=2pt 2pt,linewidth=2 pt,linecolor=cadmiumgreen]{-}(3.66,-4.96)(3.66,0)

\psline[linewidth = 1.5pt,linecolor = blue](-4.5,5.2)(5.5,5.2) \rput[bl](-4,5.2){\Large \blue $T_1$} \psline[linewidth = 1.5pt,linecolor = blue](-4.5,-4.96)(5.5,-4.96) \rput[bl](-4.2,-4.8){\Large \blue $T_2$}

\rput[bl](-1.5,-0.75){\Large $\tcv{\approx -1}$} \rput[bl](3.16,+0.25){\Large \red $\tcv{\approx 3.6}$}

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2020-2021	`interros\20-21\20-21-1spe-Interro1-B.tex`	7 pts