EX_0361 – Dresser les tableaux de signes des...

Énoncé

Dresser sans aucun calcul les tableaux de signes des fonctions suivantes :

$g(x) =3(x-42)(x+12)$
$h(x)=-5x^2-1$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item L'expression fournie est la forme canonique d'un polynôme du second degré. On en déduit que $a=3>0$, $x_1=42$ et $x_2=-12$. Nous savons alors que $g(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines, d'où~:
            $\begin{tablvar}[0.1\textwidth]{3}
            \hline
            x & -\infty && -12 &&  42 && +\infty \\
            \hline
            \mbox{Signe de }g(x) & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\
            \hline
        \end{tablvar}$
        \item $x^2$ est toujours positif donc $-5x^2$ est toujours négatif. Comme $-2$ est négatif et que nous savons que la somme de deux termes négatifs est négative on en déduit que~:
         $\begin{tablvar}[0.2\textwidth]{1}
            \hline
            x & -\infty &&  +\infty \\
            \hline
            \mbox{Signe de }g(x) & & -  & \\
            \hline
        \end{tablvar}$
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

L'expression fournie est la forme canonique d'un polynôme du second degré. On en déduit que $a=3>0$, $x_1=42$ et $x_2=-12$. Nous savons alors que $g(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines, d'où : $
[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
$
$x^2$ est toujours positif donc $-5x^2$ est toujours négatif. Comme $-2$ est négatif et que nous savons que la somme de deux termes négatifs est négative on en déduit que : $
[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
$