Une balle est lancée depuis le balcon d'un appartement situé à $5$ mètres du sol. La hauteur de la balle, en mètre, $t$ secondes après le lancer, est modélisée par la fonction $h$ définie sur $[0\,;6]$ par : \[ h(t)=-t^2+4t+5. \]

1. Vérifier que, pour tout $t\in[0\,;6]$ : \[ h(t)=-(t-2)^2+9. \]
2. En déduire la hauteur maximale atteinte par la balle et l'instant auquel elle est atteinte.
3. Montrer que $h(t)=-(t+1)(t-5)$.
4. Combien de temps après le lancer la balle touche-t-elle le sol ?
5. Vérifier le résultat de la question précédente en résolvant l'équation $h(t)=0$ à l'aide du discriminant.

1. On développe la forme proposée : $-(t-2)^2+9=-\left(t^2-4t+4\right)+9=-t^2+4t-4+9=-t^2+4t+5=h(t)$
2. Pour tout $t\in[0\,;6]$, on a $(t-2)^2\geqslant 0$ donc $-(t-2)^2\leqslant 0$ d'où $h(t)\leqslant 9$, avec égalité si et seulement si $t=2$. La balle atteint sa hauteur maximale de $9$ mètres au bout de $2$ secondes.
3. On développe : $-(t+1)(t-5)=-\left(t^2-5t+t-5\right)=-\left(t^2-4t-5\right)=-t^2+4t+5=h(t)$
4. La balle touche le sol lorsque $h(t)=0$ avec $t\in[0\,;6]$. Or $h(t)=-(t+1)(t-5)$ donc $h(t)=0$ équivaut à $t+1=0$ ou $t-5=0$, soit $t=-1$ ou $t=5$. La seule solution dans $[0\,;6]$ est $t=5$. La balle touche le sol $5$ secondes après le lancer.
5. On résout $h(t)=0$ soit $-t^2+4t+5=0$. On a $a=-1$, $b=4$, $c=5$ d'où $\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times(-1)\times 5=16+20=36>0$ ainsi l'équation admet deux solutions distinctes
   $t_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-6}{-2}=5$ et $t_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+6}{-2}=-1$
   On retrouve bien les racines $-1$ et $5$, ce qui confirme le résultat de la question précédente.