Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-12x+10$.

1. Vérifier que, pour tout $x\in\R$ : $f(x)=2(x-3)^2-8$.
2. En remarquant que $1$ est une racine de $f$, déterminer l'autre racine à l'aide de la somme (ou du produit) des racines.
3. En déduire une factorisation de $f(x)$.
4. Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=10$.
5. Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=2x-6$.

1. On développe la forme proposée : $2(x-3)^2-8=2\left(x^2-6x+9\right)-8=2x^2-12x+18-8=2x^2-12x+10=f(x)$
2. Notons $x_1$ et $x_2$ les racines de $f$. La somme des racines vaut $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-12}{2}=6$. Or $x_1=1$ d'où $x_2=6-1=5$. L'autre racine est donc $5$.
3. $f$ est un polynôme du second degré de coefficient dominant $a=2$ et de racines $1$ et $5$. Ainsi, pour tout $x\in\R$ : $f(x)=2(x-1)(x-5)$
4. On résout $f(x)=10$ soit $2x^2-12x+10=10$, c'est-à-dire $2x^2-12x=0$. On factorise : $2x(x-6)=0$ d'où $x=0$ ou $x=6$. Ainsi $S=\{0\,;6\}$.
5. On résout $f(x)=2x-6$ soit $2x^2-12x+10=2x-6$, c'est-à-dire $2x^2-14x+16=0$ ou encore $x^2-7x+8=0$. On a $a=1$, $b=-7$, $c=8$ d'où $\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times 1\times 8=49-32=17>0$ ainsi l'équation admet deux solutions distinctes
   $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7-\sqrt{17}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+\sqrt{17}}{2}$
   Ainsi $S=\left\{\dfrac{7-\sqrt{17}}{2}\,;\dfrac{7+\sqrt{17}}{2}\right\}$.