EX_0372 – Soit f la fonction définie sur par...

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+8x+10$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Déterminer la forme canonique de $f(x)$.
Soit $k$ un réel. Discuter, selon les valeurs de $k$, du nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$. Interpréter graphiquement le résultat.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\times(-2)}=2$ et $\beta=f(\alpha)=f(2)=-2\times2^2+8\times2+10=18$. Ainsi $f(x)=-2(x-2)^2+18$.
        \item
        \begin{enumerate}
            \item $\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times(-2)\times10=64+80=144$.
            \item $\Delta>0$ ainsi $f$ admet deux racines distinctes\\
            $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8+\sqrt{144}}{2\times(-2)}=\dfrac{-8+12}{-4}=-1$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-\sqrt{144}}{2\times(-2)}=\dfrac{-8-12}{-4}=5$.\\
            L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\{-1\,;5\}$.
            \item On en déduit que $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-2(x+1)(x-5)$.
        \end{enumerate}
        \item Pour tout réel $k$, $f(x)=k\Leftrightarrow-2x^2+8x+10-k=0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta_k=8^2-4\times(-2)\times(10-k)=64+80-8k=144-8k$. Ainsi $\Delta_k>0\Leftrightarrow k<18$ et $\Delta_k=0\Leftrightarrow k=18$. On en déduit que :
        \begin{itemize}
            \item si $k<18$, l'équation $f(x)=k$ admet deux solutions distinctes ;
            \item si $k=18$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution ;
            \item si $k>18$, l'équation $f(x)=k$ n'admet aucune solution.
        \end{itemize}
        Graphiquement, la droite d'équation $y=k$ coupe $\mathscr{C}_f$ en deux points lorsque $k<18$, en un seul point, le sommet $S$, lorsque $k=18$ et ne coupe pas $\mathscr{C}_f$ lorsque $k>18$.
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2\times(-2)}=2$ et $\beta=f(\alpha)=f(2)=-2\times2^2+8\times2+10=18$. Ainsi $f(x)=-2(x-2)^2+18$.
Pour tout réel $k$, $f(x)=k\Leftrightarrow-2x^2+8x+10-k=0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta_k=8^2-4\times(-2)\times(10-k)=64+80-8k=144-8k$. Ainsi $\Delta_k>0\Leftrightarrow k<18$ et $\Delta_k=0\Leftrightarrow k=18$. On en déduit que :
Graphiquement, la droite d'équation $y=k$ coupe $\mathscr{C}_f$ en deux points lorsque $k<18$, en un seul point, le sommet $S$, lorsque $k=18$ et ne coupe pas $\mathscr{C}_f$ lorsque $k>18$.