Soit $m$ un réel. On considère l'équation $(E_m)$ d'inconnue $x$ : \[x^2+mx-10=0\]

1. Montrer que, pour tout réel $m$, l'équation $(E_m)$ admet deux solutions distinctes.
2. Déterminer la valeur de $m$ pour que $2$ soit solution de $(E_m)$.
3. On prend désormais $m=3$. Déterminer, sans calculer le discriminant, la seconde solution de $(E_3)$.
4. En déduire la forme factorisée de $x^2+3x-10$.
5. En déduire les coordonnées du sommet $S$ de la parabole d'équation $y=x^2+3x-10$.

Correction

1. Pour tout réel $m$, $\Delta=m^2-4\times1\times(-10)=m^2+40$. Or $m^2\geq0$ donc $\Delta>0$. Ainsi l'équation $(E_m)$ admet deux solutions distinctes pour tout réel $m$.
2. $2$ est solution de $(E_m)\Leftrightarrow2^2+2m-10=0\Leftrightarrow2m=6\Leftrightarrow m=3$.
3. D'après la question précédente, $2$ est solution de $(E_3)$. Notons $x_1=2$ et $x_2$ l'autre solution. Le produit des solutions est $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-10$ d'où $2x_2=-10$ soit $x_2=-5$.
4. On en déduit que $x^2+3x-10=(x-x_1)(x-x_2)=(x-2)(x+5)$.
5. Les points de la parabole d'ordonnée $0$ ont pour abscisses $2$ et $-5$. Ils sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, d'où $\alpha=\dfrac{2+(-5)}{2}=-1,5$. Il reste à calculer $\beta=f(\alpha)=(-1,5)^2+3\times(-1,5)-10=2,25-4,5-10=-12,25$. Ainsi $S(-1,5\,;-12,25)$.