EX_0374 – Une balle est lancée verticalement...

Énoncé

Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis un point situé à $1,8$ m du sol. On modélise sa hauteur, en mètre, $t$ secondes après le lancer par la fonction $h$ définie par $h(t)=-5t^2+8t+1,8$ tant que la balle n'a pas touché le sol. On note $\mathscr{C}_h$ la courbe représentative de $h$.

Combien de temps s'écoule-t-il entre le lancer et le moment où la balle touche le sol ?
La balle peut-elle atteindre une hauteur de $6$ m ? Justifier.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item
        \begin{enumerate}
            \item $-5(t-0,8)^2+5=-5\left(t^2-1,6t+0,64\right)+5=-5t^2+8t-3,2+5=-5t^2+8t+1,8=h(t)$.
            \item Le sommet de $\mathscr{C}_h$ a pour coordonnées $(\alpha\,;\beta)$ avec $\alpha=0,8$ et $\beta=5$ donc $S(0,8\,;5)$. On en déduit que la balle atteint sa hauteur maximale, $5$ m, $0,8$ seconde après le lancer.
        \end{enumerate}
        \item Il s'agit de résoudre $h(t)=0$. $\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times(-5)\times1,8=64+36=100>0$ ainsi $h$ admet deux racines distinctes\\
        $t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8+\sqrt{100}}{2\times(-5)}=\dfrac{-8+10}{-10}=-0,2$ et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-\sqrt{100}}{2\times(-5)}=\dfrac{-8-10}{-10}=1,8$.\\
        La solution $t_1$ est négative, elle ne convient pas. On en déduit que la balle touche le sol $1,8$ seconde après le lancer.
        \item
        \begin{enumerate}
            \item $h(t)=4,2\Leftrightarrow-5t^2+8t+1,8=4,2\Leftrightarrow-5t^2+8t-2,4=0$. $\Delta=8^2-4\times(-5)\times(-2,4)=64-48=16>0$ ainsi\\
            $t_3=\dfrac{-8+\sqrt{16}}{2\times(-5)}=\dfrac{-8+4}{-10}=0,4$ et $t_4=\dfrac{-8-\sqrt{16}}{2\times(-5)}=\dfrac{-8-4}{-10}=1,2$.\\
            Ces deux instants sont compris entre $0$ et $1,8$. On en déduit que la balle se trouve à $4,2$ m du sol $0,4$ seconde puis $1,2$ seconde après le lancer.
            \item La balle atteint sa hauteur maximale à l'instant $0,8$ s d'après la question 1. Or $\dfrac{0,4+1,2}{2}=0,8$ d'où $0,8$ est le milieu de $0,4$ et $1,2$. Ainsi ces deux instants sont symétriques par rapport à l'instant où la balle atteint sa hauteur maximale.
        \end{enumerate}
        \item $h(t)=6\Leftrightarrow-5t^2+8t+1,8=6\Leftrightarrow-5t^2+8t-4,2=0$. $\Delta=8^2-4\times(-5)\times(-4,2)=64-84=-20<0$ donc l'équation n'admet aucune solution. On en déduit que la balle n'atteint jamais une hauteur de $6$ m.
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Il s'agit de résoudre $h(t)=0$. $\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times(-5)\times1,8=64+36=100>0$ ainsi $h$ admet deux racines distinctes
$t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8+\sqrt{100}}{2\times(-5)}=\dfrac{-8+10}{-10}=-0,2$ et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-\sqrt{100}}{2\times(-5)}=\dfrac{-8-10}{-10}=1,8$.
La solution $t_1$ est négative, elle ne convient pas. On en déduit que la balle touche le sol $1,8$ seconde après le lancer.
$h(t)=6\Leftrightarrow-5t^2+8t+1,8=6\Leftrightarrow-5t^2+8t-4,2=0$. $\Delta=8^2-4\times(-5)\times(-4,2)=64-84=-20<0$ donc l'équation n'admet aucune solution. On en déduit que la balle n'atteint jamais une hauteur de $6$ m.