EX_0375 – On considère les rectangles de...

Énoncé

On considère les rectangles de périmètre $34$ cm. On note $x$ la longueur, en centimètre, de l'un des côtés d'un tel rectangle, avec $x\in]0\,;17[$.

Exprimer, en fonction de $x$, la longueur de l'autre côté.
Montrer que l'aire du rectangle, en centimètre carré, est donnée par $A(x)=-x^2+17x$.
Déterminer les dimensions d'un rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $60$ cm$^2$.
Existe-t-il un rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $72,25$ cm$^2$ ? Si oui, préciser sa nature.
Existe-t-il un rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $80$ cm$^2$ ? Justifier.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item Notons $y$ la longueur de l'autre côté. Le périmètre du rectangle est $2(x+y)=34$ d'où $x+y=17$ soit $y=17-x$.
        \item L'aire du rectangle est $A(x)=x\times y=x(17-x)=-x^2+17x$.
        \item Il s'agit de résoudre $A(x)=60\Leftrightarrow-x^2+17x-60=0$. $\Delta=b^2-4ac=17^2-4\times(-1)\times(-60)=289-240=49>0$ ainsi l'équation admet deux solutions distinctes\\
        $x_1=\dfrac{-17+\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-17+7}{-2}=5$ et $x_2=\dfrac{-17-\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-17-7}{-2}=12$.\\
        Ces deux valeurs appartiennent à $]0\,;17[$. Pour $x=5$, $y=17-5=12$ et pour $x=12$, $y=17-12=5$. On en déduit que le rectangle mesure $5$ cm sur $12$ cm.
        \item $A(x)=72,25\Leftrightarrow-x^2+17x-72,25=0$. $\Delta=17^2-4\times(-1)\times(-72,25)=289-289=0$ ainsi l'équation admet une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{17}{2\times(-1)}=8,5$. Or $y=17-8,5=8,5$. On en déduit qu'il existe un seul rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $72,25$ cm$^2$ : c'est un carré de côté $8,5$ cm.
        \item $A(x)=80\Leftrightarrow-x^2+17x-80=0$. $\Delta=17^2-4\times(-1)\times(-80)=289-320=-31<0$ donc l'équation n'admet aucune solution. On en déduit qu'il n'existe aucun rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $80$ cm$^2$.
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Notons $y$ la longueur de l'autre côté. Le périmètre du rectangle est $2(x+y)=34$ d'où $x+y=17$ soit $y=17-x$.
L'aire du rectangle est $A(x)=x\times y=x(17-x)=-x^2+17x$.
Il s'agit de résoudre $A(x)=60\Leftrightarrow-x^2+17x-60=0$. $\Delta=b^2-4ac=17^2-4\times(-1)\times(-60)=289-240=49>0$ ainsi l'équation admet deux solutions distinctes
$x_1=\dfrac{-17+\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-17+7}{-2}=5$ et $x_2=\dfrac{-17-\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-17-7}{-2}=12$.
Ces deux valeurs appartiennent à $]0\,;17[$. Pour $x=5$, $y=17-5=12$ et pour $x=12$, $y=17-12=5$. On en déduit que le rectangle mesure $5$ cm sur $12$ cm.
$A(x)=72,25\Leftrightarrow-x^2+17x-72,25=0$. $\Delta=17^2-4\times(-1)\times(-72,25)=289-289=0$ ainsi l'équation admet une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{17}{2\times(-1)}=8,5$. Or $y=17-8,5=8,5$. On en déduit qu'il existe un seul rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $72,25$ cm$^2$ : c'est un carré de côté $8,5$ cm.
$A(x)=80\Leftrightarrow-x^2+17x-80=0$. $\Delta=17^2-4\times(-1)\times(-80)=289-320=-31<0$ donc l'équation n'admet aucune solution. On en déduit qu'il n'existe aucun rectangle de périmètre $34$ cm et d'aire $80$ cm$^2$.